無理數

各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N{displaystyle mathbb {N} } 正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} } 代數數 A{displaystyle mathbb {A} } 实数 R{displaystyle mathbb {R} } 複數 C{displaystyle mathbb {C} } 高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]} 负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z{displaystyle mathbb {Z} } 负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I{displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}

延伸

雙曲複數 雙複數 四元數 H{displaystyle mathbb {H} } 共四元數（英语：Dual quaternion） 八元數 O{displaystyle mathbb {O} } 超數 上超實數 超复数 十六元數 S{displaystyle mathbb {S} } 複四元數 大實數 超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } 超現實數

其他

对偶数 序数 質數 P{displaystyle mathbb {P} } 同餘 可計算數 整數數列 數學常數 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 可定義數 阿列夫數 圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots } 自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots } 虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}} 無窮大 ∞{displaystyle infty }

無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。

非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明2{displaystyle {sqrt {2}}}無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。

目录

• 
  1 举例
  


• 
  2 性质
  


• 
  3 不知是否是無理數的數
  


• 
  4 無理數集的特性
  


• 
  5 無理化作連分數的表達式
  


• 
  6 一些無理數的證明
  
  
  
  • 
    6.1 證明2{displaystyle {sqrt {2}}}是无理数
    
  
  
  • 
    6.2 證明2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}是无理数
    
  
  
  • 
    6.3 證明2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}是无理数
    
  
  
  • 
    6.4 證明2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}是无理数
    
  
  
  
  


• 
  7 参见
  


• 
  8 外部連結
  

举例

1. 3=1.73205080⋯{displaystyle {sqrt {3}}=1.73205080cdots }


2. log10⁡3=0.47712125⋯{displaystyle log _{10}3=0.47712125cdots }


3. π=3.141592653589793238462643383279502884⋯{displaystyle pi =3.141592653589793238462643383279502884cdots }


4. e=2.71828182845904523536⋯{displaystyle e=2.71828182845904523536cdots }


5. sin⁡45∘=22=0.70710678⋯{displaystyle sin {45^{circ }}={frac {sqrt {2}}{2}}=0.70710678cdots }

性质

• 无理数加或减有理数必得无理数。


• 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。

不知是否是無理數的數

π+e{displaystyle pi +e,}、π−e{displaystyle pi -e,}等，事实上，對于任何非零整數m{displaystyle m,}及n{displaystyle n,}，不知道mπ+ne{displaystyle mpi +ne,}是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π+(−π){displaystyle pi +(-pi )}、2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}等除外。

我們亦不知道2e{displaystyle 2^{e},}、πe{displaystyle pi ^{e},}、π2{displaystyle pi ^{sqrt {2}}}、欧拉-马歇罗尼常数γ{displaystyle gamma ,}或卡塔兰常数G{displaystyle G}是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集（因有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是個不完備的拓撲空間，它是與所有正數數列的集拓撲同構的，當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而贝尔纲定理可以應用在無數間的拓撲空間上。

無理化作連分數的表達式

x2=c(c>0){displaystyle x^{2}=cqquad (c>0)}，

選取一個正的實數ρ{displaystyle rho ,}使得

ρ2<c{displaystyle rho ^{2}<c!}。

經由遞迴處理

x2 −ρ2=c −ρ2(x −ρ)(x +ρ)=c −ρ2x −ρ=c −ρ2ρ +xx=ρ +c −ρ2ρ +x=ρ +c −ρ2ρ +(ρ +c −ρ2ρ +x)=ρ +c −ρ22ρ +c −ρ22ρ +c −ρ2⋱=c{displaystyle {begin{aligned}x^{2} -!rho ^{2}&=c -!rho ^{2}\(x -!rho )(x +!rho )&=c -!rho ^{2}\x -!rho &={frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\x&=rho +!{frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!left(rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}right)}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{ddots ,}}}}}}={sqrt {c}},end{aligned}}}

一些無理數的證明

證明2{displaystyle {sqrt {2}}}是无理数

证：

假设2{displaystyle {sqrt {2}}}是有理数，并且令2=pq{displaystyle {sqrt {2}}={frac {p}{q}}}，pq{displaystyle {frac {p}{q}}}是最简分数。

两边平方，得到2=p2q2{displaystyle 2={frac {p^{2}}{q^{2}}}}。将此式改写为2q2=p2{displaystyle 2q^{2}=p^{2}}，可见p2{displaystyle p^{2}}为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以p{displaystyle p}只能为偶数。设p=2p1{displaystyle p=2p_{1}}，其中p1{displaystyle p_{1}}为整数。

代入可得q2=2p12{displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}}。同理可得q{displaystyle q}亦为偶数。

这与pq{displaystyle {frac {p}{q}}}为最简分数的假设矛盾，
所以2{displaystyle {sqrt {2}}}是有理数的假设不成立。

證明2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}是无理数

證：

假設2+3=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p}是有理數，兩邊平方得到

5+26=p2⇒6=p2−52{displaystyle 5+2{sqrt {6}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}={frac {p^{2}-5}{2}}}

其中因為p{displaystyle p}是有理數，所以p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}也是有理數。

透過證明a{displaystyle {sqrt {a}}}為無理數的方法，其中a{displaystyle {a}}為一整數

可以證明6{displaystyle {sqrt {6}}}是無理數

同樣也推出p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}是無理數

但這又和p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}是有理數互相矛盾

所以2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}是一無理數

證明2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}是无理数

證：

同樣，假設2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}是有理數，兩邊平方後得到

10+26+210+215=p2⇒6+10+15=p2−102{displaystyle 10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}-10}{2}}}，

於是6+10+15{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}}是有理數。兩邊再次平方，得：

31+106+610+415=(p2−10)24{displaystyle 31+10{sqrt {6}}+6{sqrt {10}}+4{sqrt {15}}={frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}}，

於是56+310+215=(p2−10)28−312{displaystyle 5{sqrt {6}}+3{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}

由於6+10+15{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}}是有理數，所以

36+10+2(6+10+15)=(p2−10)24−312{displaystyle 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}}

⇒36+10=(p2−10)24−312−2(6+10+15){displaystyle Rightarrow 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})}

透過證明形如a+b{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}}的數是無理數的方法，得出36+10{displaystyle 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}}也是一無理數

但這結果明顯和(p2−10)28−312{displaystyle {frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}與2(6+10+15){displaystyle 2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})}皆為有理數出現矛盾，故2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}為無理數

另一種證明：

同樣假設2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}是有理數，

2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}

⇒2+3=p−5{displaystyle Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p-{sqrt {5}}}，兩邊平方：

⇒(2+3)2=(p−5)2{displaystyle Rightarrow ({sqrt {2}}+{sqrt {3}})^{2}=(p-{sqrt {5}})^{2}}

⇒5+26=p2+5−2p5{displaystyle Rightarrow 5+2{sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{sqrt {5}}}

⇒2(6+p5)=p2{displaystyle Rightarrow 2({sqrt {6}}+p{sqrt {5}})=p^{2}}

透過證明形如a+b{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}}的數是無理數的方法，得出6+p5{displaystyle {sqrt {6}}+p{sqrt {5}}}是一無理數

也是矛盾的。

證明2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}是无理数

證：

2+3+5+7=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}=p}

⇒2+3+5=p−7{displaystyle Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p-{sqrt {7}}}，兩邊平方得到：

⇒10+26+210+215=p2+7−2p7{displaystyle Rightarrow 10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{sqrt {7}}}

⇒6+10+15+p7=p22−32{displaystyle Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}}，得到6+10+15+p7{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}}為一有理數

⇒6+10+15=p22−32−p7{displaystyle Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}}，兩邊繼續平方：

⇒(6+10+15)2=(p2−32−p7)2{displaystyle Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}right)^{2}}

⇒(6+10+15)2=[(p2−32)−p7]2{displaystyle Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left[left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)-p{sqrt {7}}right]^{2}}

⇒31+260+290+2150=(p2−32)2+(−p7)2−2×p7×(p2−32){displaystyle Rightarrow 31+2{sqrt {60}}+2{sqrt {90}}+2{sqrt {150}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+(-p{sqrt {7}})^{2}-2times {p}{sqrt {7}}times left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)}

⇒31+415+610+106=(p2−32)2+7p2−p(2p2−3)7{displaystyle Rightarrow 31+4{sqrt {15}}+6{sqrt {10}}+10{sqrt {6}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){sqrt {7}}}

⇒210+66+p(2p2−3)7=(p2−32)2+7p2−4(6+10+15+p7)−31{displaystyle Rightarrow 2{sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31}

由於6+10+15+p7{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}}，p{displaystyle p}皆為有理數

設10+66+p(2p2−3)7=q=(p2−32)2+7p2−4(6+10+15+p7)−31{displaystyle {sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=q=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31}，q{displaystyle q}亦為有理數

透過證明形如a+b+c{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}+{sqrt {c}}}的數是無理數的方法，可知10+66+p(2p2−3)7{displaystyle {sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}}為無理數

這和q{displaystyle q}是有理數衝突

所以得證2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}為一無理數

参见

• 分划


• 丢番图逼近


• 3的算术平方根


• 5的算术平方根


• 超越数


• 第一次數學危機

外部連結

• 
  從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明，有畢氏弄石法的證明


• 
  2{displaystyle {sqrt {2}}}是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）


• 
  舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華^{[永久失效連結]}（數學傳播 第30卷 第4期）

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