無理數













各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} }mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C}
NumberSetinC.svg







正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}}{mathbb {R}}^{+}
自然数 N{displaystyle mathbb {N} }mathbb{N}
正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}}{mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} }mathbb{Q}
代數數 A{displaystyle mathbb {A} }mathbb{A}
实数 R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R}
複數 C{displaystyle mathbb {C} }mathbb {C}
高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]}mathbb{Z}[i]

负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}}mathbb{R}^-
整数 Z{displaystyle mathbb {Z} }mathbb {Z}
负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}}{displaystyle mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 I{displaystyle mathbb {I} }{mathbb {I}}
二次无理数
艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}


延伸






雙曲複數
雙複數
四元數 H{displaystyle mathbb {H} }{mathbb {H}}
共四元數（英语：Dual quaternion）
八元數 O{displaystyle mathbb {O} }mathbb{O}
超數
上超實數

超复数
十六元數 S{displaystyle mathbb {S} }mathbb {S}
複四元數
大實數
超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} }{displaystyle ^{*}mathbb {R} }
超現實數


其他






对偶数
序数
質數 P{displaystyle mathbb {P} }mathbb {P}
同餘
可計算數
整數數列
數學常數

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
可定義數
阿列夫數

圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots }{displaystyle pi =3.141592653dots }
自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots }{displaystyle e=2.718281828dots }
虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}}{displaystyle i={sqrt {-1}}}
無窮大 ∞{displaystyle infty }infty



無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。


非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。


傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。


無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。




目录






  • 1 举例


  • 2 性质


  • 3 不知是否是無理數的數


  • 4 無理數集的特性


  • 5 無理化作連分數的表達式


  • 6 一些無理數的證明


    • 6.1 證明2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}是无理数


    • 6.2 證明2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}是无理数


    • 6.3 證明2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}是无理数


    • 6.4 證明2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}是无理数




  • 7 参见


  • 8 外部連結





举例



  1. 3=1.73205080⋯{displaystyle {sqrt {3}}=1.73205080cdots }{sqrt {3}}=1.73205080cdots

  2. log10⁡3=0.47712125⋯{displaystyle log _{10}3=0.47712125cdots }log _{10}3=0.47712125cdots

  3. π=3.141592653589793238462643383279502884⋯{displaystyle pi =3.141592653589793238462643383279502884cdots }pi =3.141592653589793238462643383279502884cdots

  4. e=2.71828182845904523536⋯{displaystyle e=2.71828182845904523536cdots }e=2.71828182845904523536cdots

  5. sin⁡45∘=22=0.70710678⋯{displaystyle sin {45^{circ }}={frac {sqrt {2}}{2}}=0.70710678cdots }{displaystyle sin {45^{circ }}={frac {sqrt {2}}{2}}=0.70710678cdots }



性质



  • 无理数加或减有理数必得无理数。

  • 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。



不知是否是無理數的數


π+e{displaystyle pi +e,}pi +e,、π−e{displaystyle pi -e,}pi -e,等，事实上，對于任何非零整數m{displaystyle m,}m,及n{displaystyle n,}n,，不知道mπ+ne{displaystyle mpi +ne,}mpi +ne,是否無理數。


無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π+(−π){displaystyle pi +(-pi )}pi +(-pi )、2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}等除外。


我們亦不知道2e{displaystyle 2^{e},}2^{e},、πe{displaystyle pi ^{e},}pi ^{e},、π2{displaystyle pi ^{sqrt {2}}}pi ^{sqrt {2}}、欧拉-马歇罗尼常数γ{displaystyle gamma ,}gamma ,或卡塔兰常数G{displaystyle G}G是否無理數。



無理數集的特性


無理數集是不可數集（因有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是個不完備的拓撲空間，它是與所有正數數列的集拓撲同構的，當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而贝尔纲定理可以應用在無數間的拓撲空間上。



無理化作連分數的表達式



x2=c(c>0){displaystyle x^{2}=cqquad (c>0)}x^{2}=cqquad (c>0)，

選取一個正的實數ρ{displaystyle rho ,}rho ,使得



ρ2<c{displaystyle rho ^{2}<c!}rho ^{2}<c!。

經由遞迴處理


x2 −ρ2=c −ρ2(x −ρ)(x +ρ)=c −ρ2x −ρ=c −ρ2ρ +xx=ρ +c −ρ2ρ +x=ρ +c −ρ2ρ +(ρ +c −ρ2ρ +x)=ρ +c −ρ22ρ +c −ρ22ρ +c −ρ2⋱=c{displaystyle {begin{aligned}x^{2} -!rho ^{2}&=c -!rho ^{2}\(x -!rho )(x +!rho )&=c -!rho ^{2}\x -!rho &={frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\x&=rho +!{frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!left(rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}right)}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{ddots ,}}}}}}={sqrt {c}},end{aligned}}}{begin{aligned}x^{2} -!rho ^{2}&=c -!rho ^{2}\(x -!rho )(x +!rho )&=c -!rho ^{2}\x -!rho &={frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\x&=rho +!{frac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!left(rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{rho +!x}}right)}}\&=rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{2rho +!{cfrac {c -!rho ^{2}}{ddots ,}}}}}}={sqrt {c}},end{aligned}}


一些無理數的證明



證明2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}是无理数


证：




假设2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}是有理数，并且令2=pq{displaystyle {sqrt {2}}={frac {p}{q}}}{sqrt {2}}={frac {p}{q}}，pq{displaystyle {frac {p}{q}}}{frac {p}{q}}是最简分数。


两边平方，得到2=p2q2{displaystyle 2={frac {p^{2}}{q^{2}}}}2={frac {p^{2}}{q^{2}}}。将此式改写为2q2=p2{displaystyle 2q^{2}=p^{2}}{displaystyle 2q^{2}=p^{2}}，可见p2{displaystyle p^{2}}p^2为偶数。


因为平方运算保持奇偶性，所以p{displaystyle p}p只能为偶数。设p=2p1{displaystyle p=2p_{1}}{displaystyle p=2p_{1}}，其中p1{displaystyle p_{1}}p_{1}为整数。


代入可得q2=2p12{displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}}{displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}}。同理可得q{displaystyle q}q亦为偶数。


这与pq{displaystyle {frac {p}{q}}}{frac {p}{q}}为最简分数的假设矛盾，
所以2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}是有理数的假设不成立。



證明2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}是无理数


證：


假設2+3=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p是有理數，兩邊平方得到


5+26=p2⇒6=p2−52{displaystyle 5+2{sqrt {6}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}={frac {p^{2}-5}{2}}}5+2{sqrt {6}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}={frac {p^{2}-5}{2}}


其中因為p{displaystyle p}p是有理數，所以p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}{frac {p^{2}-5}{2}}也是有理數。


透過證明a{displaystyle {sqrt {a}}}{sqrt {a}}為無理數的方法，其中a{displaystyle {a}}{a}為一整數


可以證明6{displaystyle {sqrt {6}}}{sqrt {6}}是無理數


同樣也推出p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}{frac {p^{2}-5}{2}}是無理數


但這又和p2−52{displaystyle {frac {p^{2}-5}{2}}}{frac {p^{2}-5}{2}}是有理數互相矛盾


所以2+3{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}是一無理數



證明2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}是无理数


證：


同樣，假設2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p是有理數，兩邊平方後得到


10+26+210+215=p2⇒6+10+15=p2−102{displaystyle 10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}-10}{2}}}10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}-10}{2}}，


於是6+10+15{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}}{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}是有理數。兩邊再次平方，得：


31+106+610+415=(p2−10)24{displaystyle 31+10{sqrt {6}}+6{sqrt {10}}+4{sqrt {15}}={frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}}31+10{sqrt {6}}+6{sqrt {10}}+4{sqrt {15}}={frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}，


於是56+310+215=(p2−10)28−312{displaystyle 5{sqrt {6}}+3{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}5{sqrt {6}}+3{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}


由於6+10+15{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}}{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}是有理數，所以


36+10+2(6+10+15)=(p2−10)24−312{displaystyle 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}}3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}


⇒36+10=(p2−10)24−312−2(6+10+15){displaystyle Rightarrow 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})}Rightarrow 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}={frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})


透過證明形如a+b{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}}{sqrt {a}}+{sqrt {b}}的數是無理數的方法，得出36+10{displaystyle 3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}}3{sqrt {6}}+{sqrt {10}}也是一無理數


但這結果明顯和(p2−10)28−312{displaystyle {frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}{frac {{frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}與2(6+10+15){displaystyle 2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})}2({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}})皆為有理數出現矛盾，故2+3+5{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}為無理數


另一種證明：


同樣假設2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p是有理數，


2+3+5=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p


⇒2+3=p−5{displaystyle Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p-{sqrt {5}}}Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}=p-{sqrt {5}}，兩邊平方：


⇒(2+3)2=(p−5)2{displaystyle Rightarrow ({sqrt {2}}+{sqrt {3}})^{2}=(p-{sqrt {5}})^{2}}Rightarrow ({sqrt {2}}+{sqrt {3}})^{2}=(p-{sqrt {5}})^{2}


⇒5+26=p2+5−2p5{displaystyle Rightarrow 5+2{sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{sqrt {5}}}Rightarrow 5+2{sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{sqrt {5}}


⇒2(6+p5)=p2{displaystyle Rightarrow 2({sqrt {6}}+p{sqrt {5}})=p^{2}}Rightarrow 2({sqrt {6}}+p{sqrt {5}})=p^{2}


透過證明形如a+b{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}}{sqrt {a}}+{sqrt {b}}的數是無理數的方法，得出6+p5{displaystyle {sqrt {6}}+p{sqrt {5}}}{sqrt {6}}+p{sqrt {5}}是一無理數


也是矛盾的。



證明2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}是无理数


證：


2+3+5+7=p{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}=p}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}=p


⇒2+3+5=p−7{displaystyle Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p-{sqrt {7}}}Rightarrow {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}=p-{sqrt {7}}，兩邊平方得到：


⇒10+26+210+215=p2+7−2p7{displaystyle Rightarrow 10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{sqrt {7}}}Rightarrow 10+2{sqrt {6}}+2{sqrt {10}}+2{sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{sqrt {7}}


⇒6+10+15+p7=p22−32{displaystyle Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}}Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}，得到6+10+15+p7{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}}{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}為一有理數


⇒6+10+15=p22−32−p7{displaystyle Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}}Rightarrow {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}={frac {p^{2}}{2}}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}，兩邊繼續平方：


⇒(6+10+15)2=(p2−32−p7)2{displaystyle Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}right)^{2}}Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}-p{sqrt {7}}right)^{2}


⇒(6+10+15)2=[(p2−32)−p7]2{displaystyle Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left[left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)-p{sqrt {7}}right]^{2}}Rightarrow left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}right)^{2}=left[left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)-p{sqrt {7}}right]^{2}


⇒31+260+290+2150=(p2−32)2+(−p7)2−2×p7×(p2−32){displaystyle Rightarrow 31+2{sqrt {60}}+2{sqrt {90}}+2{sqrt {150}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+(-p{sqrt {7}})^{2}-2times {p}{sqrt {7}}times left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)}Rightarrow 31+2{sqrt {60}}+2{sqrt {90}}+2{sqrt {150}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+(-p{sqrt {7}})^{2}-2times {p}{sqrt {7}}times left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)


⇒31+415+610+106=(p2−32)2+7p2−p(2p2−3)7{displaystyle Rightarrow 31+4{sqrt {15}}+6{sqrt {10}}+10{sqrt {6}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){sqrt {7}}}Rightarrow 31+4{sqrt {15}}+6{sqrt {10}}+10{sqrt {6}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){sqrt {7}}


⇒210+66+p(2p2−3)7=(p2−32)2+7p2−4(6+10+15+p7)−31{displaystyle Rightarrow 2{sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31}Rightarrow 2{sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31


由於6+10+15+p7{displaystyle {sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}}{sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}，p{displaystyle p}p皆為有理數


設10+66+p(2p2−3)7=q=(p2−32)2+7p2−4(6+10+15+p7)−31{displaystyle {sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=q=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31}{sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}=q=left(p^{2}-{frac {3}{2}}right)^{2}+7p^{2}-4left({sqrt {6}}+{sqrt {10}}+{sqrt {15}}+p{sqrt {7}}right)-31，q{displaystyle q}q亦為有理數


透過證明形如a+b+c{displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {b}}+{sqrt {c}}}{sqrt {a}}+{sqrt {b}}+{sqrt {c}}的數是無理數的方法，可知10+66+p(2p2−3)7{displaystyle {sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}}{sqrt {10}}+6{sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){sqrt {7}}為無理數


這和q{displaystyle q}q是有理數衝突


所以得證2+3+5+7{displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}}{sqrt {2}}+{sqrt {3}}+{sqrt {5}}+{sqrt {7}}為一無理數



参见



  • 分划

  • 丢番图逼近

  • 3的算术平方根

  • 5的算术平方根

  • 超越数

  • 第一次數學危機



外部連結




  • 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明，有畢氏弄石法的證明


  • 2{displaystyle {sqrt {2}}}{sqrt {2}}是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）


  • 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華[永久失效連結]（數學傳播 第30卷 第4期）




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