Mixing
克莱因四元群
数学上，克莱因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。
克莱因四元群通常以V表示（来自德文的四元群Vierergruppe）。它是阿贝尔群，同构于Z/2Z×Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} times mathbb {Z} /2mathbb {Z} }
结构
若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：
+
0
e
f
g
0
0
e
f
g
e
e
0
g
f
f
f
g
0
e
g
g
f
e
0
这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。
克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：
x
0
e
f
g
0
0
0
0
0
e
0
e
f
g
f
0
f
g
e
g
0
g
e
f
克莱因四元群是下图的图自同构群。
- ∘−∘∘∘{displaystyle {begin{matrix}circ !!-!!circ \circ ;;circ \end{matrix}}}
克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：
V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
在这表示中，V是交错群A4的正规子群，也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了四次方程可以用根式求解的原因。
Comments
Post a Comment