循環群

群论

群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）

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在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群Z/nZ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

目录

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  1 定義
  
  
  
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    1.1 分类
    
  
  
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    1.2 标记
    
  
  
  
  


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  2 性質
  


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  3 例子
  


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  4 表示
  


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  5 子群
  


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  6 自同態
  


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  7 逼肖循環群
  


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  8 注释
  


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  9 参考来源
  


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  10 相关文献
  


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  11 另見
  

定義

6次单位根在乘法下形成循環群。z是本原元而 z² 不是，因為z的奇數次冪不是z²的冪。

设(G,⋅){displaystyle (G,cdot )}為一个群，若存在一G內的元素g，使得G=⟨g⟩={gk;k∈Z}{displaystyle G=leftlangle ,g,rightrangle =left{g^{k};;kin mathbb {Z} right}}，则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。由群G內的任意一个元素所生成的群也都是循环群，而且是G的子群。

分类

设有循环群G={gk;k∈Z}{displaystyle G=left{g^{k};;kin mathbb {Z} right}}。如果存在不相等的两个整数m和n，使得g^m = gⁿ，那么正整数d = |m - n|满足g^d = e。所以对任意整数k，g^k = g^r，其中r是k除以d得到的余数，是一个介乎0与d - 1之间的整数。这说明G是有限群。设d_m是所有这样的正整数中最小的一个，则G可以表示为：

G={gk;k=0,1,⋯,dm−1}{displaystyle G=left{g^{k};;k=0,1,cdots ,d_{m}-1right}}

可以证明它同构于模d_m的加法群(Z/dmZ,+){displaystyle left(mathbb {Z} {big /}d_{m}mathbb {Z} ,+right)}。事实上，對每一個正整數n，都存在唯一一個（在同构的意义上）阶為此正整數n的循環群。而所有的n阶循環群都和模n的同余类构成的加法群(Z/nZ,+){displaystyle left(mathbb {Z} {big /}nmathbb {Z} ,+right)}同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整數关于加法构成的群(Z,+){displaystyle left(mathbb {Z} ,+right)}。因此，循環群已被完全分类，是最簡單的一种群。

例如，若G={e,g,g2,g3,g4,g5}{displaystyle G=left{e,g,g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}right}}，則G為循環群。G同構於模 6 的加法群：Z6={0¯,1¯,2¯,3¯,4¯,5¯}{displaystyle mathbb {Z} _{6}=left{{overline {0}},{overline {1}},{overline {2}},{overline {3}},{overline {4}},{overline {5}}right}}。只需考虑映射：

φ:G⟶Z6{displaystyle varphi :;Glongrightarrow mathbb {Z} _{6}}

gk↦k¯{displaystyle left.;,right.g^{k},mapsto ;,{overline {k}}}

可以证明其为群同态，而且是双射，因此是群同构。

标记

由于循环群必然是阿貝爾群，且与加法群Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} {big /}nmathbb {Z} }或整数的加法群Z{displaystyle mathbb {Z} }同构，它的运算常常會以加法寫出，且被標記為Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}}。然而數論中一般會避免使用這種標記，因為它和p进整数构成的環或群的局部化的標記相衝突，容易混淆。因此，数论中一般直接记作Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} {big /}nmathbb {Z} }，或以乘法寫出，標記為Cn{displaystyle mathbf {C} _{n}}。

性質

每一個循環群要么同構于整数模n的加法群：Zn={0¯,1¯,2¯,⋯,n−1¯}{displaystyle mathbb {Z} _{n}=left{{overline {0}},{overline {1}},{overline {2}},cdots ,{overline {n-1}}right}}，要么同构于整數的加法群Z{displaystyle mathbb {Z} }。因此要研究循环群的性质，只需要研究Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}}和Z{displaystyle mathbb {Z} }作为加法群的性质即可。设G是一个n阶的循環群^{[N 1]}，g是G中一个元素，则：

• 
  G為交換群。這是因為g + h = h + g mod n。


• 若n為有限正整数，則gⁿ = e，因為 n mod n = 0。而且n是所有使得g^k = e的正整数k中最小的一个。


• 若n為無限大，則G有且仅有兩個生成元，分别对应于整数中的1和−1。


• 若n為有限正整数，则G的各个生成元分别对应整数模n加法群中与n互质的数的同余类。例如当n =12时，G的生成元有四个，分别对应着Z12{displaystyle mathbb {Z} _{12}}中的1¯,5¯,7¯,11¯{displaystyle {overline {1}},{overline {5}},{overline {7}},{overline {11}}}四个同余类。


• 
  G的每一個子群都是循環群。更具体地说，每一個G的m阶有限子群皆為整数模m的加法群。而每一個G的無限子群都可以表示成mZ{displaystyle mmathbb {Z} }，同構於Z{displaystyle mathbb {Z} }。


• 设p是質數，則阶為p的群都同构于p阶循環群。


• 
  Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}}和Zm{displaystyle mathbb {Z} _{m}}兩個循環群的直積是循環群，当且仅当n和m互質。故Z12{displaystyle mathbb {Z} _{12}}是Z3{displaystyle mathbb {Z} _{3}}和Z4{displaystyle mathbb {Z} _{4}}的直積，而不會是Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}}和Z6{displaystyle mathbb {Z} _{6}}的直積^{[N 2]}。


• 
  阿貝爾群的基本定理说明每一個有限生成阿貝爾群都是有限多個循環群的直積。

例子

在二維和三維空间裡，n折旋轉對稱的對稱群為C_n，屬Z_n抽象群類型。在三維裡，亦存在其他代數地相同的對稱群，詳見三維點群。

需留意的是，圓的所有旋轉所組成之群S¹(圓群)不是循環的，甚至不是可數的。

• 
  n次單位根形成一個关于乘法的n阶循環群。

• 每一個有限域之有限扩张的伽羅瓦群是有限且循環的；相反地，給定一有限域F和一有限循環群G，則存在一個F的有限域擴張，其伽羅瓦群為G。

表示

有限循環群的環圖全是有著其元素在各個角上的n邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素，而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

子群

所有循環群的子群及商群都是循環的。特別地，Z的子群為mZ的形式，其中m為非负整數。对于不同的 m ，mZ 形式的子群是不同的，且除了當然群(m=0)外都同構於Z。Z的子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的，除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個n的正因數d，群Z/nZ恰好有一個d目的子群，它由n/d的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之n的因數所組成的集合。

其中有一個很特別的：一個循環群是簡單的若且唯若其目（元素數目）為質數。

舉一個實際的問題，給定一個n目之有限子群C，其生成元為g，並要求求得以某一整數k之g^k所生成的子群之大小m。這裡，m會是能使mk能被n整除之最小正整數。因此其為n/t，其中t為k和n的最大公因數。換句話說，由g^k產生之子群之指標為t。其理由在數論中被稱為指標計算演算法。

自同態

阿貝爾群Z_n的自同態環會同構於此阿貝爾群，且使其構成一個環。在此同構之下，數字r會對應於將每個元素映射至其n次乘積之值上之Z_n的自同態。此一自同態只有在r和n互質時會是個雙射函數，所以Z_n的自同構群會同構於群Z_n^×(見上面)。Z_n的自同構群有時會被稱為Z_n的特徵群，且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。

相似地，加法群Z的自同態環會同構於環Z，且其自同構群會同構於環Z的單位群，即{−1, +1} ≅{displaystyle cong } Z₂。

逼肖循環群

一個群稱為逼肖循環（virtually cyclic）的，如果這個群包含一個有限指數的循環子群。換言之，一個逼肖循環群的任何元素，都可表示為這個循環子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的，當且僅當這個群是有限生成並且正好有兩個端。^[1]逼肖循環群的一個簡單例子是Z/n和Z的直積，因子Z有有限指數n。任何格羅莫夫雙曲群的阿貝爾子群都是逼肖循環群。^[2]

注释

1. 
   ^ n也可以是無限大，约定“n为无穷大”代表群同构于整数加法群。
   


2. 
   ^ Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}}和Z6{displaystyle mathbb {Z} _{6}}的直積并不是一个循环群。
   

参考来源

1. 
   ^ Stallings, John, Groups of cohomological dimension one, Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 124–128, 1970, MR 0255689 . 特別見p. 126: "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."
   


2. 
   ^ Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H., Notes on word hyperbolic groups, Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF), River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, 1991, MR 1170363 ^{[永久失效連結]}.
   

相关文献

• 
  Gallian, Joseph, Contemporary abstract algebra 4th, Boston: Houghton Mifflin, 1998, ISBN 978-0-669-86179-2 （英语） , especially chapter 4.


• 
  Herstein, I. N., Abstract algebra 3rd, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0-13-374562-7, MR1375019 , especially pages 53–60.

另見

• 三維循環對稱群


• 循環擴張


• 循環模


• 同餘

查 论 编 抽象代数相关主题 代数结构 · 群 · 环 · 體 · 有限體 · 本原元 · 格 · 逆元素 · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 群论 群 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 · 单群 · 半单群 · 典型群 · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 子群 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 其他 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 環論 环 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 · 素环 · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 模 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 其他 幂零元 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 域论 體 有限體 · 原根 · 代数闭體 · 局部體 · 分裂體 · 分式環 體扩张 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张

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