勒贝格测度




数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集 A 稱测度，记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有不勒贝格可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。




目录






  • 1 问题起源


  • 2 性质


  • 3 零测集


  • 4 例子


  • 5 勒贝格测度的结构


  • 6 与其他测度的关系


  • 7 历史


  • 8 参看


  • 9 參考文獻





问题起源


人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。


我们想构造一个映射 m ，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ，並称这個数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质：




  • m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。

  • 对于一个区间 [a, b]，m([a, b]) 应当等于其长度 b − a。


  • m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 m(⋃nEn)=∑nm(En){displaystyle mleft(bigcup _{n}E_{n}right)=sum _{n}m(E_{n})}{displaystyle mleft(bigcup _{n}E_{n}right)=sum _{n}m(E_{n})} ，其中 ⋃ 表示並集。


  • m 具有平移不变性。設集合 E 及 E+k = {x+k : x ∈ E} （即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合）。若 m(E) 有定義，則滿足 m(E+k) = m(E) 。


遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。



性质


設集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：



  1. 如果 A 是一列区间 (In) 的笛卡爾積 ∏nIn{displaystyle prod _{n}I_{n}}{displaystyle prod _{n}I_{n}} ，則 A 是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∏n|In|{displaystyle lambda (A)=prod _{n}left|I_{n}right|}{displaystyle lambda (A)=prod _{n}left|I_{n}right|} ，其中 | I | 表示区间 I 的长度。

  2. 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En) 的并集，即 A=⋃nEn{displaystyle A=bigcup _{n}E_{n}}{displaystyle A=bigcup _{n}E_{n}} ，那么 A 也是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∑nλ(En){displaystyle lambda left(Aright)=sum _{n}lambda (E_{n})}{displaystyle lambda left(Aright)=sum _{n}lambda (E_{n})}。

  3. 如果 A 是勒贝格可测的，那么它相对于 Rn 的补集也是可测的。

  4. 对于每个勒贝格可测集 A ， λ(A)≥0{displaystyle lambda (A)geq 0}{displaystyle lambda (A)geq 0} 。

  5. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 A ⊆ B ，則 λ(A)≤λ(B){displaystyle lambda (A)leq lambda (B)}{displaystyle lambda (A)leq lambda (B)} 。

  6. 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。

  7. 如果 A 是在 Rn 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合），則 A 是勒贝格可测的。[1][2]

  8. 如果 A 是勒贝格零测集，即 λ(A)=0{displaystyle lambda (A)=0}{displaystyle lambda (A)=0} ，则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。

  9. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 B = {x+k : x ∈ A} （即將 A 平移 k 個單位），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=λ(A){displaystyle lambda (B)=lambda (A)}{displaystyle lambda (B)=lambda (A)} 。

  10. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 B = {kx : x ∈ A} （即將 A 縮放 k 倍），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=kn⋅λ(A){displaystyle lambda (B)=k^{n}cdot lambda (A)}{displaystyle lambda (B)=k^{n}cdot lambda (A)} 。

  11. 更广泛地说，设 T 是一个线性变换，det(T) 為其行列式。如果 A 是勒贝格可测的，则 T(A) 也是勒贝格可测的，并且 λ(T(A))=det(T)⋅λ(A){displaystyle lambda (T(A))=det(T)cdot lambda (A)}{displaystyle lambda (T(A))=det(T)cdot lambda (A)} 。

  12. 設 f 是一个從 A 到 Rn 上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的，则 f(A) 也是勒贝格可测的。




简要地说， Rn 的勒贝格可测子集组成一个含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 λ([0,1]×[0,1]×⋯×[0,1])=1{displaystyle lambda ([0,1]times [0,1]times cdots times [0,1])=1}lambda([0,1]times [0, 1]times cdots times [0, 1])=1 的测度。


勒贝格测度是σ-有限测度。



零测集


主条目：零测集

Rn的子集 A 是零测集，如果对于每一个ε > 0，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。


如果Rn的子集的豪斯多夫维数小于n，那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数相对于Rn上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等價（英语：Equivalence_of_metrics#Strong_equivalence）的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。


为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A只相差一个零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。



例子



  • 如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。

  • 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。


  • 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。



勒贝格测度的结构


勒贝格测度的现代構造基于外测度[3]，是卡拉西奥多里发明的。


固定n∈N.{displaystyle nin mathbb {N} .}{displaystyle nin mathbb {N} .}Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}R^n中的盒子是形如B=∏i=1n[ai,bi]{displaystyle B=prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}B=prod_{i=1}^n [a_i,b_i]的集合，其中bi≥ai{displaystyle b_{i}geq a_{i}}b_ige a_i。这个盒子的体积vol⁡(B){displaystyle operatorname {vol} (B)}operatorname{vol}(B)定义为∏i=1n(bi−ai).{displaystyle prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}prod_{i=1}^n (b_i-a_i).


对于Rn的任何子集A，我们可以定义它的外测度λ∗(A):{displaystyle lambda ^{*}(A):}{displaystyle lambda ^{*}(A):}



λ∗(A)=inf{∑j∈Jvol⁡(Bj):{Bj:j∈J}{displaystyle lambda ^{*}(A)=inf {Bigl {}sum _{jin J}operatorname {vol} (B_{j}):{B_{j}:jin J}} lambda^*(A) = inf Bigl{sum_{jin J}operatorname{vol}(B_j) : {B_j:jin J}是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了A}.{displaystyle A{Bigr }}.}{displaystyle A{Bigr }}.}

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合S⊂Rn{displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}}Ssubset R^n，都有：


λ∗(S)=λ∗(A∩S)+λ∗(S−A).{displaystyle lambda ^{*}(S)=lambda ^{*}(Acap S)+lambda ^{*}(S-A).}{displaystyle lambda ^{*}(S)=lambda ^{*}(Acap S)+lambda ^{*}(S-A).}

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为λ(A) = λ*(A).


根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}R^n的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。



与其他测度的关系


若 A 博雷尔可測，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。


哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的Rn是一个局部紧群）。


豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量Rn的维数比n低的子集是很有用的，例如R³内的曲线或曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。


可以证明，無法類似地在无穷维空间上定義勒贝格测度。



历史


勒贝格在1901年描述了他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。[4]



参看


  • 勒贝格密度定理


參考文獻





  1. ^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015]. 


  2. ^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015]. 


  3. ^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517. 


  4. ^ Henri Lebesgue. Intégrale, longueur, aire. Université de Paris. 1902. 









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