勒贝格测度




数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集 A 稱测度，记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有不勒贝格可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。




目录






  • 1 问题起源


  • 2 性质


  • 3 零测集


  • 4 例子


  • 5 勒贝格测度的结构


  • 6 与其他测度的关系


  • 7 历史


  • 8 参看


  • 9 參考文獻





问题起源


人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。


我们想构造一个映射 m ，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ，並称这個数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质：




  • m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。

  • 对于一个区间 [a, b]，m([a, b]) 应当等于其长度 b − a。


  • m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 m(⋃nEn)=∑nm(En){displaystyle mleft(bigcup _{n}E_{n}right)=sum _{n}m(E_{n})}{displaystyle mleft(bigcup _{n}E_{n}right)=sum _{n}m(E_{n})} ，其中 ⋃ 表示並集。


  • m 具有平移不变性。設集合 E 及 E+k = {x+k : x ∈ E} （即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合）。若 m(E) 有定義，則滿足 m(E+k) = m(E) 。


遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。



性质


設集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：



  1. 如果 A 是一列区间 (In) 的笛卡爾積 ∏nIn{displaystyle prod _{n}I_{n}}{displaystyle prod _{n}I_{n}} ，則 A 是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∏n|In|{displaystyle lambda (A)=prod _{n}left|I_{n}right|}{displaystyle lambda (A)=prod _{n}left|I_{n}right|} ，其中 | I | 表示区间 I 的长度。

  2. 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En) 的并集，即 A=⋃nEn{displaystyle A=bigcup _{n}E_{n}}{displaystyle A=bigcup _{n}E_{n}} ，那么 A 也是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∑nλ(En){displaystyle lambda left(Aright)=sum _{n}lambda (E_{n})}{displaystyle lambda left(Aright)=sum _{n}lambda (E_{n})}。

  3. 如果 A 是勒贝格可测的，那么它相对于 Rn 的补集也是可测的。

  4. 对于每个勒贝格可测集 A ， λ(A)≥0{displaystyle lambda (A)geq 0}{displaystyle lambda (A)geq 0} 。

  5. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 A ⊆ B ，則 λ(A)≤λ(B){displaystyle lambda (A)leq lambda (B)}{displaystyle lambda (A)leq lambda (B)} 。

  6. 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。

  7. 如果 A 是在 Rn 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合），則 A 是勒贝格可测的。[1][2]

  8. 如果 A 是勒贝格零测集，即 λ(A)=0{displaystyle lambda (A)=0}{displaystyle lambda (A)=0} ，则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。

  9. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 B = {x+k : x ∈ A} （即將 A 平移 k 個單位），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=λ(A){displaystyle lambda (B)=lambda (A)}{displaystyle lambda (B)=lambda (A)} 。

  10. 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 B = {kx : x ∈ A} （即將 A 縮放 k 倍），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=kn⋅λ(A){displaystyle lambda (B)=k^{n}cdot lambda (A)}{displaystyle lambda (B)=k^{n}cdot lambda (A)} 。

  11. 更广泛地说，设 T 是一个线性变换，det(T) 為其行列式。如果 A 是勒贝格可测的，则 T(A) 也是勒贝格可测的，并且 λ(T(A))=det(T)⋅λ(A){displaystyle lambda (T(A))=det(T)cdot lambda (A)}{displaystyle lambda (T(A))=det(T)cdot lambda (A)} 。

  12. 設 f 是一个從 A 到 Rn 上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的，则 f(A) 也是勒贝格可测的。




简要地说， Rn 的勒贝格可测子集组成一个含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 λ([0,1]×[0,1]×⋯×[0,1])=1{displaystyle lambda ([0,1]times [0,1]times cdots times [0,1])=1}lambda([0,1]times [0, 1]times cdots times [0, 1])=1 的测度。


勒贝格测度是σ-有限测度。



零测集


主条目：零测集

Rn的子集 A 是零测集，如果对于每一个ε > 0，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。


如果Rn的子集的豪斯多夫维数小于n，那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数相对于Rn上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等價（英语：Equivalence_of_metrics#Strong_equivalence）的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。


为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A只相差一个零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。



例子



  • 如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。

  • 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。


  • 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。



勒贝格测度的结构


勒贝格测度的现代構造基于外测度[3]，是卡拉西奥多里发明的。


固定n∈N.{displaystyle nin mathbb {N} .}{displaystyle nin mathbb {N} .}Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}R^n中的盒子是形如B=∏i=1n[ai,bi]{displaystyle B=prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}B=prod_{i=1}^n [a_i,b_i]的集合，其中bi≥ai{displaystyle b_{i}geq a_{i}}b_ige a_i。这个盒子的体积vol⁡(B){displaystyle operatorname {vol} (B)}operatorname{vol}(B)定义为∏i=1n(bi−ai).{displaystyle prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}prod_{i=1}^n (b_i-a_i).


对于Rn的任何子集A，我们可以定义它的外测度λ∗(A):{displaystyle lambda ^{*}(A):}{displaystyle lambda ^{*}(A):}



λ∗(A)=inf{∑j∈Jvol⁡(Bj):{Bj:j∈J}{displaystyle lambda ^{*}(A)=inf {Bigl {}sum _{jin J}operatorname {vol} (B_{j}):{B_{j}:jin J}} lambda^*(A) = inf Bigl{sum_{jin J}operatorname{vol}(B_j) : {B_j:jin J}是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了A}.{displaystyle A{Bigr }}.}{displaystyle A{Bigr }}.}

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合S⊂Rn{displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}}Ssubset R^n，都有：


λ∗(S)=λ∗(A∩S)+λ∗(S−A).{displaystyle lambda ^{*}(S)=lambda ^{*}(Acap S)+lambda ^{*}(S-A).}{displaystyle lambda ^{*}(S)=lambda ^{*}(Acap S)+lambda ^{*}(S-A).}

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为λ(A) = λ*(A).


根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}R^n的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。



与其他测度的关系


若 A 博雷尔可測，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。


哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的Rn是一个局部紧群）。


豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量Rn的维数比n低的子集是很有用的，例如R³内的曲线或曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。


可以证明，無法類似地在无穷维空间上定義勒贝格测度。



历史


勒贝格在1901年描述了他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。[4]



参看


  • 勒贝格密度定理


參考文獻





  1. ^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015]. 


  2. ^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015]. 


  3. ^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517. 


  4. ^ Henri Lebesgue. Intégrale, longueur, aire. Université de Paris. 1902. 









Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Information security

Image
This article is part of a series on Information security Related security categories Internet security Cyberwarfare Computer security Mobile security Network security Threats Computer crime Vulnerability Eavesdropping Malware Spyware Ransomware Trojans Viruses Worms Rootkits Bootkits Keyloggers Screen scrapers Exploits Backdoors Logic bombs Payloads Denial of service Defenses Computer access control Application security Antivirus software Secure coding Secure by default Secure by design Secure operating systems Authentication Multi-factor authentication Authorization Data-centric security Encryption Firewall Intrusion detection system Mobile secure gateway Runtime application self-protection (RASP) v t e Information security , sometimes shortened to InfoSec , is the practice of preventing unauthorized access, use, disclosure, disruption, modification, inspection, recording or destruction of information. Th
Read more

章鱼与海女图

Image
本条目 可参照英語維基百科相應條目来扩充 。 （2014/5/25） 若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记 {{Translated page}} 标签。 本条目 需要擴充。 （2013年8月15日） 请協助改善这篇條目，更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到。请在擴充條目後將此模板移除。 《 章鱼与海女 》（日语： 蛸と海女 ／ たことあま   Tako to ama ）是一幅由日本畫家葛饰北斋创作的浮世绘，出自1814年（文化4年）出版的艳本《喜能会之故真通》（日语： 喜能会之故真通 ／ きのえのこまつ   Kinoe no Komatsu ）。畫中有兩隻章鱼以觸手攻擊一名採珠的海女，並進行擬似戀獸癖的交媾行為。作品尺寸为6½" × 8¾" （16.51 cm × 22.23 cm）。 [1] 在此之前的类似作品还有北尾重政的艳本《謡曲色番組》及勝川春潮的艳本《艳本千夜多女志》等，有被北斋作为参考的可能性。 《章鱼与海女图》有不同英文翻译，一般称The Dream of the Fisherman's Wife，又作Girl Diver and Octopi、Diver and Two Octopi，Richard Douglas Lane称其为 Girl Diver and Octopi [2] ，Mathi Forrer 称其为 Pearl Diver and Two Octopi [3] ，Danielle Talerico 称其为 Diver and Two Octopi 。 [4] 目录 1 作品介绍 1.1 画中对话 1.2 解释 2 评价 3 影响 3.1 模仿作品 4 另见 5 参考来源 6 外部連結 作品介绍 画中对话 原文 译文 大蛸： いつぞハいつぞハとねらいすましてゐたかいがあつて、けふといふけふ、とうとうとらまへたア。てもむつくりとしたいいぼぼだ。いもよりハなをこうぶつだ。サアサア、すつてすつてすいつくして
Read more

Farm Security Administration

Image
Farm Security Administration Farm Security Administration logo Agency overview Formed September 1, 1937  ( 1937-09-01 ) Preceding agencies Resettlement Administration Federal Emergency Relief Administration Dissolved 1946 Superseding agency Farmers Home Administration Key documents Farm Security Act Bankhead-Jones Farm Tenant Act The Farm Security Administration ( FSA ) was a New Deal agency created in 1937 to combat rural poverty during the Great Depression in the United States. It succeeded the Resettlement Administration (1935–1937). [1] The FSA stressed "rural rehabilitation" efforts to improve the lifestyle of sharecroppers, tenants, very poor landowning farmers, and a program to purchase submarginal land owned by poor farmers and resettle them in group farms on land more suitable for efficient farming. Critics, including the Farm Bureau, strongly opposed the FSA as an experiment in collectivizing agriculture—that is, in bringing
Read more