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波莱尔－坎泰利引理
波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。
目录
1 概率空间中的定理
2 证明
3 推广
4 参考来源
概率空间中的定理
设En{displaystyle E_{n}}
如果所有的事件En{displaystyle E_{n}}
- ∑n=1∞P(En)<∞,{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mathbb {P} (E_{n})<infty ,}
那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：
- P(lim supn→∞En)=0{displaystyle mathbb {P} left(limsup _{nto infty }E_{n}right)=0,}
- P(lim supn→∞En)=0{displaystyle mathbb {P} left(limsup _{nto infty }E_{n}right)=0,}
其中的lim sup{displaystyle limsup ,}
lim supn→∞En=⋂n=1∞⋃k=n∞Ek{displaystyle limsup _{nto infty }E_{n}=bigcap _{n=1}^{infty }bigcup _{k=n}^{infty }E_{k}}。
证明
设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的：
∑n=1∞P(En)<∞{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mathbb {P} (E_{n})<infty }。
这等价于说，正项无穷级数(P(En))n≥1{displaystyle left(mathbb {P} (E_{n})right)_{ngeq 1}}
- infN≥1∑n=N∞P(En)=0.{displaystyle inf _{Ngeq 1}sum _{n=N}^{infty }mathbb {P} (E_{n})=0.,}
因此，
P(lim supn→∞En)=P(⋂N=1∞⋃n=N∞En)≤infN≥1P(⋃n=N∞En)≤infN≥1∑n=N∞P(En)=0{displaystyle mathbb {P} left(limsup _{nto infty }E_{n}right)=mathbb {P} left(bigcap _{N=1}^{infty }bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right)leq inf _{Ngeq 1}mathbb {P} left(bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right)leq inf _{Ngeq 1}sum _{n=N}^{infty }mathbb {P} (E_{n})=0}[1]
推广
对于更一般的概率空间，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：
- 设μ是一个集合X上的测度，装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果：
- ∑n=1∞μ(An)<∞{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n})<infty }
- ∑n=1∞μ(An)<∞{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n})<infty }
- 那么，
- μ(lim supn→∞An)=0{displaystyle mu left(limsup _{nto infty }A_{n}right)=0,}
- μ(lim supn→∞An)=0{displaystyle mu left(limsup _{nto infty }A_{n}right)=0,}
参考来源
^ Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis. (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2010-06-14）.
Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .- Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.
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