Mixing
可數集
在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合[1]。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。
为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数[2]，后一种可数集则称为无限可数集[3]。
目录
1 定义
2 介绍
3 正规定义和性质
4 参见
5 注解
6 参考资料
定义
如果存在从S{displaystyle S}
如果S{displaystyle S}
换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集N{displaystyle mathbb {N} }
如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。
介绍
由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的，因為我們可以將所有的n{displaystyle n}
並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合R{displaystyle R}
正规定义和性质
由定义，如果存在从S{displaystyle S}
这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。
为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：
- a↔1,b↔2,c↔3{displaystyle aleftrightarrow 1,bleftrightarrow 2,cleftrightarrow 3}
由于{a,b,c}{displaystyle left{a,b,cright}}
我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？
考虑集合A={1,2,3,…}{displaystyle A=left{1,2,3,ldots right}}
- 1↔2,2↔4,3↔6,4↔8,…{displaystyle 1leftrightarrow 2,2leftrightarrow 4,3leftrightarrow 6,4leftrightarrow 8,ldots }
正如前面的例子，A{displaystyle A}
同样，自然数的有序对的集合是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：
康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数
配对结果就像这样：
- 0↔(0,0),1↔(1,0),2↔(0,1),3↔(2,0),4↔(1,1),5↔(0,2),6↔(3,0),…{displaystyle 0leftrightarrow (0,0),1leftrightarrow (1,0),2leftrightarrow (0,1),3leftrightarrow (2,0),4leftrightarrow (1,1),5leftrightarrow (0,2),6leftrightarrow (3,0),ldots }
显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。
参见
- Aleph数
- 计数
- 希尔伯特旅馆悖论
- 不可数集
- 有限集合
注解
^ 例子参见（Rudin 1976，Chapter 2）
^ 参见（Lang 1993，§2 of Chapter I）.
^ 参见（Apostol 1969，Chapter 13.19）.
^ 因为显然N和N* = {1, 2, 3, ...}之间显然存在双射，无所谓是否把0算作自然数。在任何情况，这篇文章都遵循ISO 31-11和数学逻辑中的标准传统，将0作为自然数。
参考资料
Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X
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