单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 R{displaystyle R,}
內的可逆元是指一 R{displaystyle R,}的可逆元素，即一元素 u{displaystyle u,}
使得存在一於 R{displaystyle R,}內的 v{displaystyle v,}
有下列性質：
uv=vu=1R{displaystyle uv=vu=1_{R},}
，其中 1R{displaystyle 1_{R},}
是乘法單位元。
亦即， u{displaystyle u,}是 R{displaystyle R,}內乘法幺半群的一可逆元素。
可逆元群
R{displaystyle R,}的可逆元組成了一於乘法下的群U(R){displaystyle U(R),}
，稱做 R{displaystyle R,}的可逆元群。可逆元群U(R)有時亦被標記成R*或R×。
在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。
U是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S)，當f會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。
一個環R是一個除環若且唯若R* = R {0}。
例子
- 在整數環Z{displaystyle mathbb {Z} }
裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。
- 任一單位根均是某一單作環R{displaystyle R}
內的可逆元。（若r{displaystyle r}
是一單位根，且rn=1{displaystyle r^{n}=1}
，則r−1=rn−1{displaystyle r^{-1}=r^{n-1}}
亦為R{displaystyle R}的元素）。
- 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環Z(5){displaystyle mathbb {Z} ({sqrt {5}})}
，(5+2)(5−2)=1{displaystyle ({sqrt {5}}+2)({sqrt {5}}-2)=1}
，因此(5+2),(5−2),1{displaystyle ({sqrt {5}}+2),({sqrt {5}}-2),1}
都是可逆元。
- 在環M(n,F){displaystyle M(n,F)}
，於一體F{displaystyle F}
上的n×n{displaystyle ntimes n}
矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。
二元运算的性質
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閉包（封閉律） · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 冪等律 · 冪零律
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結合性 |
结合律 · 冪結合性
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交錯性 |
交換律 · 反交換律
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單位元 |
加法單位元 · 乘法單位元素 · 有单位的
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逆元素 |
加法逆元 · 乘法反元素
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Mixing
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