在拓扑学中，在拓扑空间中的闭开集（Clopen set）是既是开集又是闭集的集合。
例子
- 在任何拓扑空间X中，空集和整个空间X都是闭开集。
- 有些拓扑空間內有其他開閉集，如離散空間的任意子集都是閉開集。
- 考虑由两个区间[0,1]和[2,3]的并集构成的空间X。在X上的拓扑是从实直线R上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在X中，集合[0,1]和[2,3]都是闭开集。这是非常典型的例子：只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
- 不太常见的例子，考虑所有有理数的空间Q带有它们的正常拓扑，和平方大于2的所有正有理数的集合A。利用√2不在Q中的事实，可以非常容易的证明A是Q的闭开子集。（还要注意A不是实直线R的闭开子集；它在R中既不是开集也不是闭集。）
性质
- 拓扑空间X是连通的，当且仅当唯一的闭开集是空集和X。
- 集合是闭开集，当且仅当它的边界是空的。
- 任何闭开集是（可能无限多）连通单元的并集。
- 如果X的所有连通单元是开集（例如，如果X只有有限多个单元，或者X是局部连通的），则集合是X中的闭开集，当且仅当它是连通单元的并集。
- 拓扑空间X是离散的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
- 使用并集和交集作为运算，给定拓扑空间X的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得：参见Stone布尔代数表示定理。
参见
点集拓扑系列
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基本概念 |
连续函数 · 同胚 · 子空間 · 積空間 · 商空間 · 序空間
邻域 · 內部 · 邊界 · 外部 · 極限點 · 孤点
基 · 鄰域系統 · 开集 · 闭集 · 闭开集 · 稠密集 · 无处稠密集 · 闭包
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拓扑空间 |
實數線 · 离散空间 · 密着拓扑 · 余有限空间 · 下限拓扑 · 康托尔集
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连通空间 |
连通空间 · 局部连通空间 · 道路连通空间 · 单连通 · N-连通 · 不可約空間
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紧空间 |
可数紧 · 序列紧 · 聚点紧 · 局部紧
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一致空间 |
一致同构 · 一致性质 · 一致收敛 · 一致连续
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可數性公理 |
第一可數 · 第二可數 · 可分空间 · 林德勒夫空間
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分离公理 |
柯尔莫果洛夫空间 · T1空间 · 豪斯多夫空间 · 正则空间 · 吉洪诺夫空间 · 正规空间
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定理 |
- 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
- 海涅-博雷尔定理
- 贝尔纲定理
- 吉洪诺夫定理
- 乌雷松引理
- 乌雷松度量化定理
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Mixing
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