满射

满射或蓋射（英语：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}为满射，則对于任意的陪域 Y{displaystyle Y} 中的元素 y{displaystyle y}，在函数的定义域 X{displaystyle X} 中存在一點 x{displaystyle x} 使得 f(x)=y{displaystyle f(x)=y}。换句话说，f{displaystyle f}是满射時，它的值域f(X){displaystyle f(X)}与陪域Y{displaystyle Y}相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 y∈Y{displaystyle yin Y} 其原像 f−1(y)⊆X{displaystyle f^{-1}(y)subseteq X} 不等於空集合。

目录

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  1 例子和反例
  


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  2 性质
  


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  3 相关条目
  


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  4 參考文獻
  

例子和反例

函数g:R→R{displaystyle g:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }，定义为g(x)=x2{displaystyle g(x)=x^{2}}，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足x2=−1{displaystyle x^{2}=-1}。

但是，如果把g{displaystyle g}的陪域限制到只有非负实数，则函数g{displaystyle g}为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数y{displaystyle y}，我们能对y=x2{displaystyle y=x^{2}}求解，得到x=±y{displaystyle x=pm {sqrt {y}}}。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质

• 函数f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}为一个满射，当且仅当存在一个函数g:Y→X{displaystyle g:Yrightarrow X}满足f∘g{displaystyle fcirc g}等于Y{displaystyle Y}上的恆等函數。（这个陈述等價于选择公理。）


• 根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。


• 如果f∘g{displaystyle fcirc g} 是满射，则f{displaystyle f}是满射。


• 如果f{displaystyle f}和g{displaystyle g}皆为满射，则f∘g{displaystyle fcirc g}为满射。


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  f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}为满射，当且仅当给定任意函数g,h:Y→Z{displaystyle g,h:Yrightarrow Z}满足g∘f=h∘f{displaystyle gcirc f=hcirc f}，则g=h{displaystyle g=h}。


• 如果f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}为满射，且B{displaystyle B}是Y{displaystyle Y}的子集，则，f(f−1(B))=B{displaystyle f(f^{-1}(B))=B}。因此，B{displaystyle B}能被其原像复原。


• 任意函数h:X→Y{displaystyle h:Xrightarrow Y}都可以分解为一个适当的满射f{displaystyle f}和单射g{displaystyle g}，使得h=g∘f{displaystyle h=gcirc f}。


• 如果f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}为满射函数，则X{displaystyle X}在基数意义上至少有跟Y{displaystyle Y}一样多的元素。


• 如果X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}皆为具有相同元素数的有限集合，则f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y}是满射当且仅当f{displaystyle f}是单射。

相关条目

• 单射


• 双射

參考文獻

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• 
  Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6. 
  

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