自由群

由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

在數學中，一個群 G{displaystyle G} 被稱作自由群，如果存在 G{displaystyle G} 的子集 S{displaystyle S} 使得 G{displaystyle G} 的任何元素都能唯一地表成由 S{displaystyle S} 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st−1=su−1ut−1{displaystyle st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}} 之類）；此時也稱 G{displaystyle G} 為集合 S{displaystyle S} 上的自由群，其群結構決定於集合 S{displaystyle S}，記為 F(S){displaystyle F(S)}，S{displaystyle S} 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群（英语：free abelian group）。

目录

• 
  1 歷史
  


• 
  2 例子
  


• 
  3 建構方式
  


• 
  4 泛性質
  


• 
  5 性質與定理
  


• 
  6 自由阿貝爾群
  


• 
  7 塔斯基的問題
  


• 
  8 文獻
  

歷史

在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子

2個圓環的集束

• 
  整數的加法群 (Z,+){displaystyle (mathbb {Z} ,+)} 是自由群；事實上我們可取 S:={1}{displaystyle S:={1}}。


• 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。


• 在代數拓撲學中，k{displaystyle k} 個圓環的集束（即：k{displaystyle k} 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 k{displaystyle k} 個生成元的自由群。

建構方式

今將構造集合 S{displaystyle S} 上之自由群 F(S){displaystyle F(S)}，分解動作如下。

1. 對任何 s∈S{displaystyle sin S}，引入符號 s−1{displaystyle s^{-1}}，稱作 s{displaystyle s} 的逆元。


2. 考慮所有由符號 s,s−1(s∈S){displaystyle s,s^{-1};(sin S)} 構成的有限字串。


3. 如果一個字串能透過將 ss−1{displaystyle ss^{-1}} 或 s−1s{displaystyle s^{-1}s} 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 F(S){displaystyle F(S)}。


4. 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：x∼y,x′∼y′⇒xx′∼yy′{displaystyle xsim y,x'sim y'Rightarrow xx'sim yy'}。故字串接合在 F(S){displaystyle F(S)} 導出二元運算，並滿足交換律。


5. 取 F(S){displaystyle F(S)} 及字串接合運算構成一個群，字串 s1±1⋯sn±1{displaystyle s_{1}^{pm 1}cdots s_{n}^{pm 1}} 之逆為 sn∓1⋯s1∓1{displaystyle s_{n}^{mp 1}cdots s_{1}^{mp 1}}。此即所求。

若 S{displaystyle S} 為空集，則 F(S){displaystyle F(S)} 為平凡群。

泛性質

上述構造 F(S){displaystyle F(S)} 帶有一個自然的集合映射 ϕ:S→F(S){displaystyle phi :Srightarrow F(S)}。這對資料 (F(S),ϕ){displaystyle (F(S),phi )} 滿足以下泛性質：

若 G{displaystyle G} 為群，ψ:S→G{displaystyle psi :Srightarrow G} 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 f:F(S)→G{displaystyle f:F(S)rightarrow G} 使得 f∘ϕ=ψ{displaystyle fcirc phi =psi }。

事實上我們僅須，也必須設 f(s1±1⋯sn±1):=ψ(s1)±1⋯ψ(pn)±1{displaystyle f(s_{1}^{pm 1}cdots s_{n}^{pm 1}):=psi (s_{1})^{pm 1}cdots psi (p_{n})^{pm 1}} ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 (F1,ϕ1){displaystyle (F_{1},phi _{1})}、(F2,ϕ2){displaystyle (F_{2},phi _{2})} 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 F(−):S↦F(S){displaystyle F(-):Smapsto F(S)} 是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理

• 任何群 G{displaystyle G} 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 S{displaystyle S} 為 G{displaystyle G} 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 F(S)→G{displaystyle F(S)rightarrow G} 的核 R{displaystyle R} 稱作關係，F(S),K{displaystyle F(S),K} 稱作 G{displaystyle G} 的一個展示；若 S{displaystyle S} 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。


• 如果 S{displaystyle S} 有超過一個元素，則 F(S){displaystyle F(S)} 非交換；事實上 F(S){displaystyle F(S)} 的中心只有單位元素。


• 任兩個自由群 F(S),F(T){displaystyle F(S),F(T)} 同構的充要條件是 S,T{displaystyle S,T} 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

• Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 G{displaystyle G} 為 n{displaystyle n} 階，(G:H)=k{displaystyle (G:H)=k}，則 H{displaystyle H} 為 1−n+nk{displaystyle 1-n+nk} 階（在此設 n,k{displaystyle n,k} 有限）。


• 設 F{displaystyle F} 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 n{displaystyle n}，F{displaystyle F} 中都存在 n{displaystyle n} 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群

更多信息：自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 S{displaystyle S} 上的自由阿貝爾群可視為自由 Z{displaystyle mathbb {Z} }-模來構造，或取作 F(S){displaystyle F(S)} 的「交換化」： F(S)/[F(S),F(S)]{displaystyle F(S)/[F(S),F(S)]}（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題

塔斯基在1945年左右提出下述問題：

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

文獻

• 
  Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770 
  


• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• 
  Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 數學評論2238945 
  


• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))

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