Mixing
子群
假設(G,∗){displaystyle (G,*)}
更精確地來說，若運算*在H的限制也是個在H上的群運算，则称H為G的子群。
一個群G的純子群是指一個子群H，其為G的純子集(即H ≠ G)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群{e}。若H為G的子群，則G有時會被稱為H的「母群」。
相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當G為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。
在下面的文章中，會使用省略掉*的常規，並將乘積a*b寫成ab。
目录
1 子群的檢驗
2 子群的基本性質
3 例子
3.1 有限群
4 陪集和拉格朗日定理
5 另見
子群的檢驗
給定一個群(G,∗){displaystyle (G,*)}
若H{displaystyle H}
H≤G⟺∀h,h′∈H,h∗(h′)−1∈H{displaystyle Hleq GLongleftrightarrow forall h,h'in H,h*(h')^{-1}in H}
證明：
(⟹){displaystyle (Longrightarrow )}
因為H≤G{displaystyle Hleq G}
(⟸){displaystyle (Longleftarrow )}
假設∃x∈H{displaystyle exists xin H}
對於x∈H{displaystyle xin H}
對於x,y∈H{displaystyle x,yin H}
因此H≤G⟺∀h,h′∈H,h∗(h′)−1∈H{displaystyle Hleq GLongleftrightarrow forall h,h'in H,h*(h')^{-1}in H}
子群的基本性質
H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a−1都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，ab−1也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群，且a的逆元素會是a−1 = an − 1，其中n為a的階。)- 上述的條件可以用同態來敘述；亦即，H為群G的子群若且唯若H為G的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a，i(a) = a)。
- 子群的單位元亦是群的單位元：若G是個有單位元素eG的群，且H為具有單位元素eH之G的子群，則eH = eG。
- 一個子群內的一元素之逆元素為群內的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b為會使得ab=ba=eH之H內的元素，則ab = ba = eG。
- 子群A和B的交集亦為一個子群。但其聯集亦為一個子群若且唯若A或B包含著另外一個，像是2和3是在2Z與3Z的聯集中，但其總和5則不是。
- 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
- 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。
- 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。
例子
有限群
G={0,1,2,3,4,5,6,7}{displaystyle G={0,1,2,3,4,5,6,7}}
其凱萊表為
+
0
4
2
6
1
3
5
7
0
0 4 2 6 1 3 5 7
4
4 0 6 2 5 7 1 3
2
2 6 4 0 3 5 7 1
6
6 2 0 4 7 1 3 5
1
1 5 3 7 2 4 6 0
3
3 7 5 1 4 6 0 2
5
5 1 7 3 6 0 2 4
7
7 3 1 5 0 2 4 6
此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群：J={0,4}{displaystyle J={0,4}}
陪集和拉格朗日定理
給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。
拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，
- [G:H]=o(G)o(H){displaystyle [G:H]={o(G) over o(H)}}
![[G:H]={o(G) over o(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。
若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。
另見
- 嘉當子群
- 費汀子群
- 穩定子群
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