Jdtcujk

極限，即為一個數列 ${a_{n}}$ ，使得 $lim _{nto infty }a_{n}=L$ ，其中 $L$ 為一確定的常數，亦即數列 ${a_{n}}$ 隨著 $n$ 的增加而趨近於 $L$ 。

定義

设一數列 ${displaystyle {x_{n}}, x_{n}in mathbb {R} , nin mathbb {N} , Lin mathbb {R} }$ ，

若对于任意的正实数 $epsilon$ ，存在自然数 $N$ ，使得對所有 ${displaystyle n>N}$ ，有
${displaystyle |x_{n}-L|<epsilon }$ ，

用符号来表示即
${displaystyle forall epsilon >0, exists Nin mathbb {N} , forall n>N, |x_{n}-L|<epsilon }$

则称数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $L$ ，记作 ${displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=L}$ 。

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）若數列 $left{ {{x_n}} right}$ 的極限存在，則極限是唯一的。

   證：設數列 $left{ {{x_n}} right}$ 有兩個不相等的極限值 ${displaystyle a, b}$ ，則對應於 ${displaystyle d=|a-b|>0}$ ，並且可找到正數 $N$ ，使 $n > N$ 時，恆有

    ${displaystyle |x_{n}-a|<{frac {d}{2}},quad |x_{n}-b|<{frac {d}{2}}}$ ，

   從而 ${displaystyle |a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<d}$ ，

   這與假設 ${displaystyle d=|a-b|}$ 不符，

   故 ${x_{n}}$ 不可能以兩個不相等的數為極限。

定理2（有界性）若數列 ${x_{n}}$ 有極限，則 ${x_{n}}$ 有界，即 ${displaystyle exists M>0}$ ，使得 $forall nin {mathbb {N}}$ ，有 ${displaystyle |x_{n}|leq M}$ .

   證：因為 ${displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=L}$ ，所以對於 ${displaystyle varepsilon =1}$ ， ${displaystyle exists Nin mathbb {N} }$ ，使得當 $n > N$ 時有 ${displaystyle |x_{n}-L|<varepsilon =1}$ ，

   從而 ${displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ ，

   令 ${displaystyle M=max(|x_{1}|, |x_{2}|,cdots , |x_{N}|, 1+|L|)}$ ，於是 $forall nin {mathbb {N}}$ ，有 ${displaystyle |x_{n}|leq M}$ ，即 ${x_{n}}$ 有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列

${displaystyle 1, 0, 1, 0,cdots , {frac {1-(-1)^{n}}{2}},cdots }$

有界，但無極限。

如數列無界，則數列發散。

定理3（保序性）若 $lim _{n to infty} x_n=a$ ， $lim _{n to infty} y_n=b$ ，且 $a>b$ ，則 ${displaystyle exists Nin mathbb {N} }$ ，使得 ${displaystyle forall n>N}$ ，有 ${displaystyle x_{n}>y_{n}}$ .

   證：已知 $lim _{n to infty} x_n=a$ ， $lim _{n to infty} y_n=b$ ，且 $a>b$ 。取 ${displaystyle varepsilon ={frac {a-b}{2}}>0}$ ，由極限定義知：

    ${displaystyle exists N_{1}in mathbb {N} ,forall n>N_{1}}$ ，有

                                      ${displaystyle |x_{n}-a|<{frac {a-b}{2}}}$ ，

   從而

                                      ${displaystyle x_{n}>a-{frac {a-b}{2}}={frac {a+b}{2}}}$ 。

    ${displaystyle exists N_{2}in mathbb {N} ,forall n>N_{2}}$ ，有

                                      ${displaystyle |y_{n}-b|<{frac {a-b}{2}}}$ ，

   從而

                                      ${displaystyle y_{n}<b+{frac {a-b}{2}}={frac {a+b}{2}}}$ 。

   所以當 ${displaystyle n>N=max(N_{1}, N_{2})}$ 時，有

                                      ${displaystyle y_{n}<{frac {a+b}{2}}<x_{n}}$ ，

   即                                 ${displaystyle x_{n}>y_{n}}$ 。