局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

目录

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  1 常见定义
  
  
  
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    1.1 一般测度空间
    
  
  
  
  


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  2 性质
  


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  3 相关条目
  


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  4 参考来源
  

常见定义

设Ω{displaystyle Omega }为欧几里得空间Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}中的一个开集。设f:Ω→C{displaystyle scriptstyle f:Omega to mathbb {C} }是一个勒贝格可测函数。如果函数f{displaystyle f}在任意紧集K⊂Ω{displaystyle Ksubset Omega }上的勒贝格积分都存在：

∫K|f|dx<+∞{displaystyle int _{K}|f|mathrm {d} x<+infty ,}

那么就称函数f{displaystyle f}为一个Ω{displaystyle Omega }-局部可积的函数^[1]。所有在Ω{displaystyle Omega }上局部可积的函数的集合一般记为Lloc1(Ω){displaystyle scriptstyle L_{loc}^{1}(Omega )}：

Lloc1(Ω)={f:Ω→C,{displaystyle L_{loc}^{1}(Omega )=left{f:Omega to mathbb {C} ,right.}可测| f∈L1(K), ∀K∈P0(Ω)}{displaystyle left.left| fin L^{1}(K), forall Kin {{mathcal {P}}_{0}(Omega )}right.right}}

其中P0(Ω){displaystyle scriptstyle {{mathcal {P}}_{0}(Omega )}}指Ω{displaystyle Omega }包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间(X,dμ){displaystyle (X,dmu )}，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[2]。

性质

• 所有Ω{displaystyle Omega }上的连续函数与可积函数都是Ω{displaystyle Omega }-局部可积的函数。如果Ω{displaystyle Omega }是有界的，那么Ω{displaystyle Omega }上的L²函数也是Ω{displaystyle Omega }-局部可积的函数^[3]。


• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数(X,dμ){displaystyle (X,dmu )}，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[4]。


• 复数值的函数f{displaystyle f}是局部可积函数，当且仅当其实部函数 Re(f):x→Re(f(x)){displaystyle Re(f):xto Releft(f(x)right)}与虚部函数 Im(f):x→Im(f(x)){displaystyle Im(f):xto Imleft(f(x)right)}都是局部可积函数。实数值的函数f{displaystyle f}是局部可积函数，当且仅当其正部函数 f+:x→(f(x))+{displaystyle f_{+}:xto left(f(x)right)_{+}}与负部函数 f−:x→(f(x))−{displaystyle f_{-}:xto left(f(x)right)_{-}}都是局部可积函数^[4]。

相关条目

• 广义函数


• 测试函数

参考来源

1. 
   ^ Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis. Springer. 1999年. ISBN 978-0387985244 （英语）. 第268页
   


2. 
   ^ Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976年 （英语）. 第181页
   


3. 
   ^ John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis. World Scientific Publishing Co., Inc. 1994年6月. ISBN 978-981-02-0737-3 （英语）. 第25页
   


4. 
   ^ ^4.04.1 Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976 （英语）. 第180页
   

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