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球 (数学)
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在歐氏空間裡，球是指球面的內部。
在數學裡，球是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。
球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。n{displaystyle n,!}
目录
1 歐氏空間裡的球
1.1 體積
2 一般度量空間裡的球
3 賦範向量空間裡的球
3.1 p-範數
3.2 一般凸範數
4 拓撲空間裡的球
4.1 開集
4.2 拓撲球
5 另見
6 参考文献
7 参见
歐氏空間裡的球
在 n{displaystyle n,!}
在 n{displaystyle n,!}
體積
在 n{displaystyle n,!}
- Vn(R)=πn/2Γ(n2+1)Rn,{displaystyle V_{n}(R)={frac {pi ^{n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}
其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：
- V2k(R)=πkk!R2k,{displaystyle V_{2k}(R)={frac {pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}
- V2k+1(R)=2k+1πk(2k+1)!!R2k+1=2(k!)(4π)k(2k+1)!R2k+1.{displaystyle V_{2k+1}(R)={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}
在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數2k+1{displaystyle 2k+1,!}
一般度量空間裡的球
令 (M,d) 為一度量空間，即具有度量（距離函數）d 的集合 M。中心為 M 內的點 p，半徑為 r > 0 的開球，通常標計為 Br(p) 或 B(p; r)，定義為
- Br(p)={x∈M∣d(x,p)<r},{displaystyle B_{r}(p)={xin Mmid d(x,p)<r},}
其閉球，可標計為 Bt[p] 或 B[p; r]，則定義為
- Br[p]={x∈M∣d(x,p)≤r}.{displaystyle B_{r}[p]={xin Mmid d(x,p)leq r}.}
![B_r[p] = { x in M mid d(x,p) le r }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97410ad1bcfd5d3cf7fd3a7cd6d9dcbb16eb6532)
請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 p，因為依定義， r > 0。
開球的閉包通常標記為 Br(p)¯{displaystyle {overline {B_{r}(p)}}}
![overline{ B_r(p) } subseteq B_r[p]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb6f970627384236f298c3e7f61175b7405cd61)
![overline{ B_r(p) } = B_r[p]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68edeec928e3dd20cbc106b6cb607e930c7046cf)
![B_1[p] = X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad7882d621699a99a746dc473c5600035f365de)
一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。
度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。
度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。
賦範向量空間裡的球
每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡，每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。
前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。
p-範數
在具 p-範數 Lp 的笛卡爾空間 Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
- B(r)={x∈Rn:∑i=1n|xi|p<rp}.{displaystyle B(r)=left{xin mathbb {R} ^{n},:,sum _{i=1}^{n}left|x_{i}right|^{p}<r^{p}right}.}
在二維（n=2）時，L1（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 L∞（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。
在三維（n=3）時，L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 L∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值，該球則會是超橢球的內部。
一般凸範數
更一般性地，給定任一 Rn 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X，均可定義一個在 Rn 的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 Rn 內的範數。
拓撲空間裡的球
在拓撲學的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。
開集
“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）
有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。
拓撲球
X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。
任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形 (0,1)n⊆Rn{displaystyle (0,1)^{n}subseteq mathbb {R} ^{n}}
n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。
一個 n 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。
另見
球 - 一般常見的意義- 圓盤
形式球，將球的半徑延伸至負值。- 鄰域
- 三維球面
n維球面（超球面）- 亞歷山大帶角球
- 流形
- n維球的體積
正八面體，ℓ1{displaystyle ell _{1}}度量下的三維球
- 球殼
- 橢球
- 球缺
- 半球
参考文献
^ NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.19(iii) n-Dimensional Sphere.
- D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
- "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
- "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]
参见
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