Mixing
欧米加常数
欧米加常数是一个数学常数，定义为：
- Ωexp(Ω)=1.{displaystyle Omega ,exp(Omega )=1.,}
它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。
Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 （OEIS中的数列A030178）。它具有以下的性质：
- e−Ω=Ω,{displaystyle e^{-Omega }=Omega ,,}
或
- ln(1/Ω)=Ω.{displaystyle ln(1/Omega )=Omega .}
我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω0开始，用下面的数列进行迭代：
- Ωn+1=e−Ωn.{displaystyle Omega _{n+1}=e^{-Omega _{n}}.,}
当n→∞时，这个数列收敛于Ω。
目录
1 无理数和超越数
2 参见
3 参考文献
4 外部链接
无理数和超越数
我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数，则存在整数p和q，使得
- pq=Ω{displaystyle {frac {p}{q}}=Omega }
所以
- 1=pepqq{displaystyle 1={frac {pe^{frac {p}{q}}}{q}}}
- e=qqpqp{displaystyle e={sqrt[{p}]{frac {q^{q}}{p^{q}}}}}
![e={sqrt[ {p}]{{frac {q^{q}}{p^{q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a5937f6ee8367edc848fe177d582300176c4b5)
这样，e就是p次代数数。但是，e实际上是超越数，所以Ω一定是无理数。
Ω实际上也是一个超越数，这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数，exp(Ω)将会是超越数，exp−1(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。
参见
- 朗伯W函数
参考文献
- Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega.
- Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. 欧米加常数. MathWorld.
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