超越函數

數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說，關於變量z{displaystyle z}的解析函數f(z){displaystyle f(z)}是超越函數，如果該函數是關於變量z{displaystyle z}是代數獨立的。

對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、余割、正切 、余切等。

非超越函數稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數y=1/x{displaystyle y=1/x}不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數sinh,cosh,tanh{displaystyle sinh ,cosh ,tanh }等皆為超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

量綱分析

在量綱分析裡，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無量綱時才有意義。因此，超越函數可以是量綱錯誤的顯著來源。例如，log⁡(10cm){displaystyle log {(10{mbox{cm}})}}是個毫無意義的表示式。log⁡(10cm){displaystyle log {(10{mbox{cm}})}}不同於log⁡(5cm/3cm){displaystyle log {(5{mbox{cm}}/3{mbox{cm}})}}和(log⁡10)cm{displaystyle (log {10}){mbox{cm}}}，后兩者是有實際意義的。利用對數恒等式，將log⁡(10cm){displaystyle log {(10{mbox{cm}})}}展開為log⁡10+log⁡(1cm){displaystyle log {10}+log(1{mbox{cm}})}能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。

一些例子

以下列出的函數都是超越函數：除了少數特殊的情況，對於一般的x{displaystyle x}不能通過有限次代數運算求出f(x){displaystyle f(x)}：

f1(x)=xπ{displaystyle f_{1}(x)=x^{pi }}

f2(x)=cx(c≠0,1){displaystyle f_{2}(x)=c^{x}quad left(cneq 0,1right)}

f3(x)=xx{displaystyle f_{3}(x)=x^{x}}

f4(x)=x1x{displaystyle f_{4}(x)=x^{frac {1}{x}}}

f5(x)=logc⁡x(c≠0,1){displaystyle f_{5}(x)=log _{c}xquad left(cneq 0,1right)}

參閱

• 超越數


• 解析函數


• 複變函數


• 廣義函數


• 特殊函數

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