同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

目录

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  1 同调群的构造
  


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  2 例子
  


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  3 同调函子
  


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  4 性质
  


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  5 参看
  

同调群的构造

其过程如下：给定对象X{displaystyle X}，首先定义链复形，它包含了X{displaystyle X}的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A0,A1,A2,…{displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},dots }的序列，群同态dn:An→An−1{displaystyle d_{n}:A_{n}rightarrow A_{n-1}}满足任何两个相连的同态的复合为0: dn∘dn+1=0{displaystyle d_{n}circ d_{n+1}=0}对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）

Hn(X)=ker(dn)/im(dn+1).{displaystyle H_{n}(X)=mathrm {ker} (d_{n})/mathrm {im} (d_{n+1}).}

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此X{displaystyle X}的同调群是X{displaystyle X}所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

例子

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形X{displaystyle X}的单纯同调。An{displaystyle A_{n}}在这里就是X{displaystyle X}中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

(a[0],a[1],…,a[n]){displaystyle (a[0],a[1],dots ,a[n])}

映射为如下的和

∑i=0n(−1)i(a[0],…,a[i−1],a[i+1],…,a[n]).{displaystyle sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],dots ,a[i-1],a[i+1],dots ,a[n]).}

如果我们将模取在一个域上，则X{displaystyle X}的n阶同调的维数就是X{displaystyle X}中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间X{displaystyle X}的奇异同调。我们定义X{displaystyle X}的上同调的链复形中的空间为An{displaystyle A_{n}}为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到X{displaystyle X}的连续函数。同态dn{displaystyle d_{n}}从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子F{displaystyle F}和某个模X{displaystyle X}开始。X{displaystyle X}的链复形定义如下：首先找到一个自由模F1{displaystyle F_{1}}和一个满同态p1:F1→X{displaystyle p_{1}:F_{1}rightarrow X}。然后找到一个自由模F2{displaystyle F_{2}}和一个满同态p2:F2→ker(p1){displaystyle p_{2}:F_{2}rightarrow mathrm {ker} (p_{1})}。以该方式继续，得到一个自由模Fn{displaystyle F_{n}}和同态pn{displaystyle p_{n}}的序列。将函子F{displaystyle F}应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调Hn{displaystyle H_{n}}仅依赖于F{displaystyle F}和X{displaystyle X}，并且按定义就是F{displaystyle F}作用于X{displaystyle X}的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形(dn:An→An−1){displaystyle (d_{n}:A_{n}rightarrow A_{n-1})}到链复形(en:Bn→Bn−1){displaystyle (e_{n}:B_{n}rightarrow B_{n-1})}的态射是一个同态的序列fn:An→Bn{displaystyle f_{n}:A_{n}rightarrow B_{n}}，满足fn−1∘dn=en−1∘fn{displaystyle f_{n-1}circ d_{n}=e_{n-1}circ f_{n}}对于所有n成立。n阶同调 Hn{displaystyle H_{n}}可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象X{displaystyle X}（也就是任何态射X→Y{displaystyle Xrightarrow Y}诱导出一个从X{displaystyle X}的链复形到Y{displaystyle Y}的链复形的态射），则Hn{displaystyle H_{n}}是从X{displaystyle X}所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X{displaystyle X}，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为Hn{displaystyle H^{n}}）构成从X{displaystyle X}所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若(dn:An→An−1){displaystyle (d_{n}:A_{n}rightarrow A_{n-1})}是链复形，满足出有限个An{displaystyle A_{n}}外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

χ=∑(−1)nrank(An){displaystyle chi =sum (-1)^{n},mathrm {rank} (A_{n})}

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

χ=∑(−1)nrank(Hn){displaystyle chi =sum (-1)^{n},mathrm {rank} (H_{n})}

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象X{displaystyle X}的重要的不变量χ{displaystyle chi }.

每个链复形的短正合序列

0→A→B→C→0{displaystyle 0rightarrow Arightarrow Brightarrow Crightarrow 0}

导致一个同调群的长正合序列

⋯→Hn(A)→Hn(B)→Hn(C)→Hn−1(A)→Hn−1(B)→Hn−1(C)→Hn−2(A)→⋯{displaystyle cdots rightarrow H_{n}(A)rightarrow H_{n}(B)rightarrow H_{n}(C)rightarrow H_{n-1}(A)rightarrow H_{n-1}(B)rightarrow H_{n-1}(C)rightarrow H_{n-2}(A)rightarrow cdots ,}

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射Hn(C)→Hn−1(A){displaystyle H_{n}(C)rightarrow H_{n-1}(A)}之外。后者称为 连接同态，有蛇引理给出。

参看

• 奇异同调


• 上同调


• 同调论


• 同调代数

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