黎曼－斯蒂尔杰斯积分

黎曼－斯蒂尔杰斯积分(英语：Riemann-Stieltjes integral)是一種積分，它是黎曼积分的一種推廣。

黎曼－斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。

目录

• 
  1 定義
  
  
  
  • 
    1.1 区间的分割
    
  
  
  • 
    1.2 黎曼－斯蒂尔杰斯和
    
  
  
  • 
    1.3 黎曼－斯蒂尔杰斯積分
    
    
    
    • 
      1.3.1 第一種定義
      
    
    
    • 
      1.3.2 第二種定義
      
    
    
    
    
  
  
  
  


• 
  2 與黎曼積分間的關聯
  


• 
  3 參考文獻
  


• 
  4 參見
  

定義

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定義依賴對區間分割的定義。

区间的分割

一个闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<…<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}=b}。每个闭区间[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}叫做一个子区间。定义λ{displaystyle lambda } 为这些子区间长度的最大值：λ=max(xi+1−xi){displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})}，其中0≤i≤n−1{displaystyle 0leq ileq n-1}。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个取样分割是指在进行分割P={a=x0<x1<⋯<xn=b}{displaystyle P={a=x_{0}<x_{1}<cdots <x_{n}=b}}后，于每一个子区间中[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}取出一点 xi≤ti≤xi+1{displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}}。λ{displaystyle lambda }的定义同上。

精细化分割：设x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}以及t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}构成了闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个取样分割，y0,…,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}和s0,…,sm−1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n{displaystyle 0leq ileq n}，都存在r(i){displaystyle r(i)}使得xi=yr(i){displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}，并存在r(i)≤j≤r(i+1){displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)}使得ti=sj{displaystyle t_{i}=s_{j}}，那么就把分割：y0,…,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}、s0,…,sm−1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}称作分割x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的一个精细化分割。简单来说，就是说分割y0,…,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}、s0,…,sm−1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}是在分割x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的基础上添加一些分点和标记。(即是說「設P={a=x0,x1,x2,…,xn−1,xn=b}{displaystyle P={a=x_{0},x_{1},x_{2},ldots ,x_{n-1},x_{n}=b}}是閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}的一個分割，若分割P′{displaystyle P'}是分割P{displaystyle P}的一個精細化分割，則P⊆P′{displaystyle Psubseteq P'}，也就是說，分割P{displaystyle P}是分割P′{displaystyle P'}的子集」)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼－斯蒂尔杰斯和

对一个在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}有定义的实值函数f{displaystyle f}，g{displaystyle g}关于取样分割x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的黎曼－斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：

S(P,f,g)=∑i=1nf(ti−1)(Δgi){displaystyle S(P,f,g)=sum _{i=1}^{n}f(t_{i-1})(Delta g_{i})}

和式中的Δgi{displaystyle Delta g_{i}}表示g(xi)−g(xi−1){displaystyle g(x_{i})-g(x_{i-1})}，故∑i=1nΔgi=g(b)−g(a){displaystyle sum _{i=1}^{n}Delta g_{i}=g(b)-g(a)}。

黎曼－斯蒂尔杰斯積分

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂尔杰斯积分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義

A{displaystyle A}是函数f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上對函數g{displaystyle g}的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的ϵ>0{displaystyle epsilon >0}，都存在δ>0{displaystyle delta >0}，使得对于任意的取样分割x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，只要它的子区间长度最大值λ≤δ{displaystyle lambda leq delta } ，就有：

|S(P,f,g)−A|<ϵ.{displaystyle left|S(P,f,g)-Aright|<epsilon .,}

第二種定義

A{displaystyle A}是函数f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上對函數g{displaystyle g}的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的ϵ>0{displaystyle epsilon >0}，都存在一个取样分割x0,…,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,…,tn−1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，使得对于任何比其“精细”的分割y0,…,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}、s0,…,sm−1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}，都有：

|S(P,f,g)−A|<ϵ.{displaystyle left|S(P,f,g)-Aright|<epsilon .,}

若一個函數f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上對函數g{displaystyle g}的黎曼－斯蒂尔杰斯积分存在，且值為A{displaystyle A}，則可寫作A=∫abf(x)dg(x).{displaystyle A=int _{a}^{b}f(x)dg(x).}

與黎曼積分間的關聯

若g(x) = x時，f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上對函數g{displaystyle g}的黎曼－斯蒂尔杰斯积分∫abf(x)dg(x).{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).}即為f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼積分∫abf(x)dx.{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx.}，故從黎曼－斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼積分。

若g(x){displaystyle g(x)}可微且其對x{displaystyle x}微分後的函數g′(x){displaystyle g'(x)}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}連續，則f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上對函數g{displaystyle g}的黎曼－斯蒂尔杰斯积分∫abf(x)dg(x).{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).}與黎曼積分∫abf(x)g′(x)dx.{displaystyle int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx.}相等

參考文獻

• Mathematical Analysis second edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

參見

• 黎曼积分


• 有界變差

This page is only for reference, If you need detailed information, please check here