最大似然估计




在统计学中，最大似然估计（英语：maximum likelihood estimation，缩写为MLE），也称最大概似估计，是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。




目录






  • 1 预备知识


  • 2 最大似然估计的原理


    • 2.1 注意




  • 3 例子


    • 3.1 离散分布，离散有限参数空间


    • 3.2 离散分布，连续参数空间


    • 3.3 连续分布，连续参数空间




  • 4 性质


    • 4.1 泛函不变性（Functional invariance）


    • 4.2 渐近线行为


    • 4.3 偏差




  • 5 历史


  • 6 参见


  • 7 参考文献


  • 8 外部链接





预备知识


下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者還須先熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。

同時，讀者須先擁有似然函數的背景知識，以了解最大似然估計的出發點及應用目的。



最大似然估计的原理


给定一个概率分布D{displaystyle D}D，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为fD{displaystyle f_{D}}f_D，以及一个分布参数θ{displaystyle theta }theta ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n{displaystyle n}n个值的采样X1,X2,…,Xn{displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}X_1, X_2,ldots, X_n，利用fD{displaystyle f_{D}}f_D计算出其似然函数：


L(θ∣x1,…,xn)=fθ(x1,…,xn).{displaystyle {mbox{L}}(theta mid x_{1},dots ,x_{n})=f_{theta }(x_{1},dots ,x_{n}).}{displaystyle {mbox{L}}(theta mid x_{1},dots ,x_{n})=f_{theta }(x_{1},dots ,x_{n}).}

若D{displaystyle D}D是离散分布，fθ{displaystyle f_{theta }}{displaystyle f_{theta }}即是在参数为θ{displaystyle theta }theta 时观测到这一采样的概率。若其是连续分布，fθ{displaystyle f_{theta }}{displaystyle f_{theta }}则为X1,X2,…,Xn{displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}X_1, X_2,ldots, X_n联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得X1,X2,…,Xn{displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}X_1, X_2,ldots, X_n，我们就能求得一个关于θ{displaystyle theta }theta 的估计。最大似然估计会寻找关于θ{displaystyle theta }theta 的最可能的值（即，在所有可能的θ{displaystyle theta }theta 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，我们可以在θ{displaystyle theta }theta 的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的θ^{displaystyle {widehat {theta }}}widehat{theta}值即称为θ{displaystyle theta }theta 的最大似然估计。由定义，最大似然估计是样本的函数。



注意



  • 这裡的似然函数是指x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}x_1,x_2,ldots,x_n不变时，关于θ{displaystyle theta }theta 的一个函数。

  • 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。



例子



离散分布，离散有限参数空间


考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样x1=H,x2=T,…,x80=T{displaystyle x_{1}={mbox{H}},x_{2}={mbox{T}},ldots ,x_{80}={mbox{T}}}x_1=mbox{H}, x_2=mbox{T}, ldots, x_{80}=mbox{T}并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为p{displaystyle p}p，抛出一个反面的概率记为1−p{displaystyle 1-p}1-p（因此，这裡的p{displaystyle p}p即相当于上边的θ{displaystyle theta }theta ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p=1/3{displaystyle p=1/3}p=1/3, p=1/2{displaystyle p=1/2}p=1/2, p=2/3{displaystyle p=2/3}p=2/3.这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：


L(p=1/3∣H=49, T=31 )=P(H=49, T=31 ∣p=1/3)=(8049)(1/3)49(1−1/3)31≈0.000L(p=1/2∣H=49, T=31 )=P(H=49, T=31 ∣p=1/2)=(8049)(1/2)49(1−1/2)31≈0.012L(p=2/3∣H=49, T=31 )=P(H=49, T=31 ∣p=2/3)=(8049)(2/3)49(1−2/3)31≈0.054{displaystyle {begin{matrix}mathbb {L} (p=1/3mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=1/3)&=&{binom {80}{49}}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}approx 0.000\&&\mathbb {L} (p=1/2mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=1/2)&=&{binom {80}{49}}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}approx 0.012\&&\mathbb {L} (p=2/3mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=2/3)&=&{binom {80}{49}}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}approx 0.054\end{matrix}}}{displaystyle {begin{matrix}mathbb {L} (p=1/3mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=1/3)&=&{binom {80}{49}}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}approx 0.000\&&\mathbb {L} (p=1/2mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=1/2)&=&{binom {80}{49}}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}approx 0.012\&&\mathbb {L} (p=2/3mid {mbox{H=49, T=31 }})&=&mathbb {P} ({mbox{H=49, T=31 }}mid p=2/3)&=&{binom {80}{49}}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}approx 0.054\end{matrix}}}

我们可以看到当p^=2/3{displaystyle {widehat {p}}=2/3}widehat{p}=2/3时，似然函数取得最大值。

顯然地，這硬幣的公平性和那種拋出後正面的機率是2/3的硬幣是最接近的。这就是p{displaystyle p}p的最大似然估计。



离散分布，连续参数空间


现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于0≤p≤1{displaystyle 0leq pleq 1}0leq pleq 1中的任何一个p{displaystyle p}p， 都有一个抛出正面概率为p{displaystyle p}p的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：


L(θ)=fD(H=49,T=80-49∣p)=(8049)p49(1−p)31{displaystyle {begin{matrix}{mbox{L}}(theta )&=&f_{D}({mbox{H=49,T=80-49}}mid p)={binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\end{matrix}}}{displaystyle {begin{matrix}{mbox{L}}(theta )&=&f_{D}({mbox{H=49,T=80-49}}mid p)={binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\end{matrix}}}

其中0≤p≤1{displaystyle 0leq pleq 1}0leq pleq 1.
我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p{displaystyle p}p取微分，并使其为零。


0=ddp((8049)p49(1−p)31)∝49p48(1−p)31−31p49(1−p)30=p48(1−p)30[49(1−p)−31p]{displaystyle {begin{matrix}0&=&{frac {d}{dp}}left({binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}right)\&&\&propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\&&\&=&p^{48}(1-p)^{30}left[49(1-p)-31pright]\end{matrix}}}begin{matrix}<br /> 0 & = & frac{d}{dp} left( binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} right) \<br /> & & \<br /> & propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \<br /> & & \<br /> & = & p^{48}(1-p)^{30}left[ 49(1-p) - 31p right] \<br /> end{matrix}



在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。


其解为p=0{displaystyle p=0}p=0, p=1{displaystyle p=1}p=1，以及p=49/80{displaystyle p=49/80}p=49/80.使可能性最大的解显然是p=49/80{displaystyle p=49/80}p=49/80（因为p=0{displaystyle p=0}p=0和p=1{displaystyle p=1}p=1这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为p^=49/80{displaystyle {widehat {p}}=49/80}widehat{p}=49/80.


这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t{displaystyle t}t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母n{displaystyle n}n代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:


p^=tn{displaystyle {widehat {p}}={frac {t}{n}}}widehat{p}=frac{t}{n}

对于任何成功次数为t{displaystyle t}t，试验总数为n{displaystyle n}n的伯努利试验。



连续分布，连续参数空间


最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：


f(x∣μ,σ2)=12πσ2e−(x−μ)22σ2{displaystyle f(xmid mu ,sigma ^{2})={frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}e^{-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}}f(xmid mu,sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}

现在有n{displaystyle n}n个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其n{displaystyle n}n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：


f(x1,…,xn∣μ,σ2)=(12πσ2)n2e−∑i=1n(xi−μ)22σ2{displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n}mid mu ,sigma ^{2})=left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)^{frac {n}{2}}e^{-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}}f(x_1,ldots,x_n mid mu,sigma^2) = left( frac{1}{2pisigma^2} right)^frac{n}{2} e^{-frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-mu)^2}{2sigma^2}}

或：



f(x1,…,xn∣μ,σ2)=(12πσ2)n/2exp⁡(−∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)22σ2){displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n}mid mu ,sigma ^{2})=left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)^{n/2}exp left(-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right)}f(x_1,ldots,x_n mid mu,sigma^2) = left( frac{1}{2pisigma^2} right)^{n/2} expleft(-frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{2sigma^2}right),

这个分布有两个参数：μ,σ2{displaystyle mu ,sigma ^{2}}mu,sigma^2.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性L(μ,σ)=f(x1,,…,xn∣μ,σ2){displaystyle {mbox{L}}(mu ,sigma )=f(x_{1},,ldots ,x_{n}mid mu ,sigma ^{2})}{displaystyle {mbox{L}}(mu ,sigma )=f(x_{1},,ldots ,x_{n}mid mu ,sigma ^{2})}在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有θ=(μ,σ2){displaystyle theta =(mu ,sigma ^{2})}theta=(mu,sigma^2).


最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：


0=∂∂μlog⁡((12πσ2)n2e−∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)22σ2)=∂∂μ(log⁡(12πσ2)n2−∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)22σ2)=0−−2n(x¯−μ)2σ2{displaystyle {begin{matrix}0&=&{frac {partial }{partial mu }}log left(left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)^{frac {n}{2}}e^{-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}right)\&=&{frac {partial }{partial mu }}left(log left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)^{frac {n}{2}}-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right)\&=&0-{frac {-2n({bar {x}}-mu )}{2sigma ^{2}}}\end{matrix}}}begin{matrix}<br /> 0 & = & frac{partial}{partial mu} log left( left( frac{1}{2pisigma^2} right)^frac{n}{2} e^{-frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{2sigma^2}} right) \<br /> & = & frac{partial}{partial mu} left( logleft( frac{1}{2pisigma^2} right)^frac{n}{2} - frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{2sigma^2} right) \<br /> & = & 0 - frac{-2n(bar{x}-mu)}{2sigma^2} \<br /> end{matrix}

这个方程的解是μ^=x¯=∑i=1nxi/n{displaystyle {widehat {mu }}={bar {x}}=sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}widehat{mu} = bar{x} = sum^{n}_{i=1}x_i/n .这的确是这个函数的最大值，因为它是μ{displaystyle mu }mu 里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。


同理，我们对σ{displaystyle sigma }sigma 求导，并使其为零。


0=∂∂σlog⁡((12πσ2)n2e−∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)22σ2)=∂∂σ(n2log⁡(12πσ2)−∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)22σ2)=−nσ+∑i=1n(xi−x¯)2+n(x¯−μ)2σ3{displaystyle {begin{matrix}0&=&{frac {partial }{partial sigma }}log left(left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)^{frac {n}{2}}e^{-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}right)\&=&{frac {partial }{partial sigma }}left({frac {n}{2}}log left({frac {1}{2pi sigma ^{2}}}right)-{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right)\&=&-{frac {n}{sigma }}+{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}+n({bar {x}}-mu )^{2}}{sigma ^{3}}}\end{matrix}}}begin{matrix}<br /> 0 & = & frac{partial}{partial sigma} log left( left( frac{1}{2pisigma^2} right)^frac{n}{2} e^{-frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{2sigma^2}} right) \<br /> & = & frac{partial}{partial sigma} left( frac{n}{2}logleft( frac{1}{2pisigma^2} right) - frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{2sigma^2} right) \<br /> & = & -frac{n}{sigma} + frac{ sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2+n(bar{x}-mu)^2}{sigma^3}<br /> \<br /> end{matrix}

这个方程的解是σ^2=∑i=1n(xi−μ^)2/n{displaystyle {widehat {sigma }}^{2}=sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{widehat {mu }})^{2}/n}widehat{sigma}^2 = sum_{i=1}^n(x_i-widehat{mu})^2/n.


因此，其关于θ=(μ,σ2){displaystyle theta =(mu ,sigma ^{2})}theta=(mu,sigma^2)的最大似然估计为：



θ^=(μ^,σ^2)=(x¯,∑i=1n(xi−x¯)2/n){displaystyle {widehat {theta }}=({widehat {mu }},{widehat {sigma }}^{2})=({bar {x}},sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}/n)}widehat{theta}=(widehat{mu},widehat{sigma}^2) = (bar{x},sum_{i=1}^n(x_i-bar{x})^2/n).


性质



泛函不变性（Functional invariance）


如果θ^{displaystyle {widehat {theta }}}widehat{theta}是θ{displaystyle theta }theta 的一个最大似然估计，那么α=g(θ){displaystyle alpha =g(theta )}alpha = g(theta)的最大似然估计是α^=g(θ^){displaystyle {widehat {alpha }}=g({widehat {theta }})}widehat{alpha} = g(widehat{theta}).函数g无需是一个一一映射。请参见George Casella与Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的证明。（中国大陆出版的大部分教材上也可以找到这个证明。）



渐近线行为


最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。
对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。



偏差


最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有(n+1)/2{displaystyle (n+1)/2}(n+1)/2.为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。



历史


最大似然估计最早是由羅納德·費雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。[1]（虽然以前高斯、拉普拉斯、T. N. Thiele和F. Y. 埃奇沃思也使用过）。[2] 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。[3]


大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展，并被后来的作者简化。[1]



参见



  • 均方差是衡量一个估计函数的好坏的一个量。

  • 关于Rao-Blackwell定理（Rao-Blackwell theorem）的文章里头讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳非偏估计（即使均方差最小）的方法。而最大似然估计通常是一个好的起点。

  • 读者可能会对最大似然估计（如果存在）总是一个关于参数的充分统计（sufficient statistic）的函数感兴趣。

  • 最大似然估计跟一般化矩方法（generalized method of moments）有关。


参考文献





  1. ^ 1.01.1 Pfanzagl (1994)


  2. ^ Edgeworth (September 1908) and Edgeworth (December 1908)


  3. ^ Savage (1976), Pratt (1976), Stigler (1978, 1986, 1999), Hald (1998, 1999), and Aldrich (1997)




外部链接


  • 关于最大似然估计的历史的一篇论文，作者John Aldrich


































  • 查

  • 论

  • 编


統計學

描述統計學











连续概率
















集中趋势

平均數（平方 · 算術 · 幾何 · 調和 · 算术-几何 · 几何-调和 · 希羅|平均數不等式） · 中位數 · 眾數
离散程度

全距 · 標準差 · 變異係數 · 百分位數 · 四分差 · 四分位数 · 方差 · 標準分數 · 切比雪夫不等式
分布形态（英语：Shape of the distribution）

偏態 · 峰態


离散概率

次數（英语：Count data） · 列聯表（英语：Contingency table）


Fisher iris versicolor sepalwidth.svg

推論統計學
和 假設檢定































推論統計學

置信区间 · 區間估計（英语：Interval estimation） · 顯著性差異 · 元分析 · 貝氏推論
实验设计

统计总量 · 抽样 · 重抽样（刀切法 · 自助法 · 交叉驗證） · 重复（英语：Replication (statistics)） · 阻碍 · 特敏度 · 區集（英语：Blocking (statistics)）
样本量（英语：Sample size）

统计功效 · 效应值 · 标准误差 · 零假设 · 對立假設（英语：Alternative hypothesis） · 第一型和第二型誤差 · 統計檢定力
常规估计

贝叶斯推论 · 區間估計（英语：Interval estimation） · 最大似然估計 · 最小距離估計（英语：Minimum distance estimation） · 矩量法 · 最大间距
特效检验

Z检验 · 學生t檢驗 · F检验 · 卡方检验 · Wald检验（英语：Wald test） · 曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test） · 秩和检验
生存分析

生存函數 · 乘積極限估計量 · 對數秩和檢定 · 失效率 · 危險比例模式



相关及
回归分析
















相关性

混淆變項（英语：Confounding） · 皮爾森積差相關係數 · 等級相關（英语：Rank correlation） (史匹曼等級相關係數 · 肯德等級相關係數（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）)
线性回归

線性模式（英语：Linear model） · 一般線性模式 · 廣義線性模式 · 方差分析 · 協方差分析（英语：Analysis of covariance）
非线性回归（英语：Nonlinear regression）

非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） · 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） · Logit模型


統計圖形

饼图 · 条形图 · 雙標圖 · 箱形圖 · 管制圖 · 森林圖（英语：Forest plot） · 直方图 · QQ圖 · 趋势图 · 散點圖（英语：Scatter plot） · 莖葉圖（英语：Stem-and-leaf display） · 雷达图（英语：Radar chart） · 示意地圖
其他
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刘萌萌

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body.skin-minerva .mw-parser-output table.infobox caption{text-align:center} 刘萌萌 女演员 罗马拼音 Liu Meng Meng 英文名 Cya 国籍   中国 民族 汉族 出生 ( 1989-10-16 ) 1989年10月16日 （ 29歲）   中国辽宁省大连市 职业 演员、艺人 语言 汉语 教育程度 沈阳音乐学院 北京电影学院表演系进修班 活跃年代 2011年至今 唱片公司 浙江永乐影视制作有限公司 经纪公司 浙江永乐影视制作有限公司 网站 刘萌萌 官方微博 刘萌萌 （1989年10月16日 － ），汉族，中国演员，2010年参加湖南卫视《芒果训练营》而出道至今，凭借电视剧《爱情公寓》“诺澜”一角走红。北京电影学院10级表演系（进修班）毕业。 目录 1 主要经历 2 影视作品 2.1 电视剧 2.2 电影 2.3 综艺节目 3 参考文献 4 外部链接 主要经历 1989年，出生于辽宁省大连市一个工人家庭； 2006年，考入沈阳音乐学院舞蹈系本科班学习； 2010年，参加湖南卫视《芒果训练营》演艺新秀比赛而出道 [1] ；進入北京电影学院表演系进修班 2011年，出演电视剧《隋唐演义》“琼花公主”一角色； 2012年，担任电视剧《爱情公寓》“诺澜”一角并开始走红 [2] ； 2013年，担任电视剧《利箭纵横》《利剑行动》 [3] 女主角“林筱雨” 2014年，参加江苏卫视真人秀栏目《花样年华》 [4] 备受瞩目 [5] 。 影视作品 电视剧 首播年份 剧名 角色 备注 2012 《爱情公寓3》 诺澜 2012 《利箭行动》 林筱雨 2013 《隋唐演义》 琼花公主 2013 《决战燕子门》 马晓婉 2014 《利箭纵横》 林筱雨 2014 《屌丝日记》 林洛霏 網絡劇 2014 《爱情公寓4》 诺澜 ...
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