Mixing
伯努利分布
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| 參數 | 1>p>0{displaystyle 1>p>0,}  （实数） |
|---|---|
| 支撑集 | k={0,1}{displaystyle k={0,1},}  |
| 概率质量函数 | qfor k=0p for k=1{displaystyle {begin{matrix}q&{mbox{for }}k=0\p~~&{mbox{for }}k=1end{matrix}}}  |
| 累積分佈函數 | 0for k<0qfor 0≤k<11for k≥1{displaystyle {begin{matrix}0&{mbox{for }}k<0\q&{mbox{for }}0leq k<1\1&{mbox{for }}kgeq 1end{matrix}}}  |
| 期望值 | p{displaystyle p,}  |
| 中位數 | N/A |
| 眾數 | 0if q>p0,1if q=p1if q<p{displaystyle {begin{matrix}0&{mbox{if }}q>p\0,1&{mbox{if }}q=p\1&{mbox{if }}q<pend{matrix}}}  |
| 方差 | pq{displaystyle pq,}  |
| 偏度 | q−ppq{displaystyle {frac {q-p}{sqrt {pq}}}}  |
| 峰度 | 6p2−6p+1p(1−p){displaystyle {frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}  |
| 信息熵 | −qln(q)−pln(p){displaystyle -qln(q)-pln(p),}  |
| 動差生成函數 | q+pet{displaystyle q+pe^{t},}  |
| 特性函数 | q+peit{displaystyle q+pe^{it},}  |
伯努利分布（英语：Bernoulli distribution，又名两点分布或者0-1分布，是一個離散型概率分布，為紀念瑞士科學家雅各布·伯努利而命名。)若伯努利試驗成功，則伯努利隨机變量取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨机變量取值為0。記其成功概率為p(0≤p≤1){displaystyle p(0{leq }p{leq }1)}
- 其概率質量函數為：
- fX(x)=px(1−p)1−x={pif x=1,q if x=0.{displaystyle f_{X}(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=left{{begin{matrix}p&{mbox{if }}x=1,\q &{mbox{if }}x=0.\end{matrix}}right.}
- fX(x)=px(1−p)1−x={pif x=1,q if x=0.{displaystyle f_{X}(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=left{{begin{matrix}p&{mbox{if }}x=1,\q &{mbox{if }}x=0.\end{matrix}}right.}
- 其期望值為：
- E[X]=∑i=01xifX(x)=0+p=p{displaystyle operatorname {E} [X]=sum _{i=0}^{1}x_{i}f_{X}(x)=0+p=p}
- E[X]=∑i=01xifX(x)=0+p=p{displaystyle operatorname {E} [X]=sum _{i=0}^{1}x_{i}f_{X}(x)=0+p=p}
- 其方差為：
- var[X]=∑i=01(xi−E[X])2fX(x)=(0−p)2(1−p)+(1−p)2p=p(1−p)=pq{displaystyle operatorname {var} [X]=sum _{i=0}^{1}(x_{i}-E[X])^{2}f_{X}(x)=(0-p)^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)=pq}
- var[X]=∑i=01(xi−E[X])2fX(x)=(0−p)2(1−p)+(1−p)2p=p(1−p)=pq{displaystyle operatorname {var} [X]=sum _{i=0}^{1}(x_{i}-E[X])^{2}f_{X}(x)=(0-p)^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)=pq}
![{displaystyle operatorname {E} [X]=sum _{i=0}^{1}x_{i}f_{X}(x)=0+p=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe1f0f8ce4525c70a88bab81eb7d6bbc4dff77d)
![{displaystyle operatorname {var} [X]=sum _{i=0}^{1}(x_{i}-E[X])^{2}f_{X}(x)=(0-p)^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a886f81a33a9d207ddd384e4e61f86d475affcb)
参考文献
^ Sheldon M Ross. 《Introduction to probability and statistics for engineers and scientists》. Academic Press. 2009: 第141頁. ISBN 9780123704832.
參見
- 概率论
- 伯努利試驗
- 伯努利過程
- 機率分佈
- 二項分佈
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