扁球面坐標系






圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的μ=1{displaystyle mu =1}mu =1。藍色半雙曲面的ν=45∘{displaystyle nu =45^{circ }}nu =45^{{circ }}。黃色半平面的ϕ=−60∘{displaystyle phi =-60^{circ }}phi =-60^{{circ }}（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是−60∘{displaystyle -60^{circ }}-60^{{circ }}）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為(1.09, −1.89, 1.66){displaystyle (1.09, -1.89, 1.66)}(1.09, -1.89, 1.66)。




圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（μ{displaystyle mu }mu -等值線）變成上圖的紅色扁球面（μ{displaystyle mu }mu 坐標曲面），而x>0{displaystyle x>0}x>0青藍色雙曲線（ν{displaystyle nu }nu -等值線）則變成藍色半雙曲面（ν{displaystyle nu }nu 坐標曲面）。


扁球面坐標系（英语：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點F1{displaystyle F_{1}}F_{{1}}與F2{displaystyle F_{2}}F_{{2}}的直角坐標分別為(−a, 0, 0){displaystyle (-a, 0, 0)}(-a, 0, 0)與(a, 0, 0){displaystyle (a, 0, 0)}(a, 0, 0)。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為a{displaystyle a}a的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。


當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。




目录






  • 1 第一種表述


    • 1.1 坐標曲面


    • 1.2 逆變換


    • 1.3 標度因子




  • 2 第二種表述


    • 2.1 標度因子




  • 3 第三種表述


    • 3.1 坐標曲面


    • 3.2 標度因子




  • 4 參閱


  • 5 參考文獻


  • 6 參考目錄


    • 6.1 不按照命名常規


    • 6.2 按照命名常規


    • 6.3 特異命名常規







第一種表述


在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}(mu , nu , phi )常見的定義是




x=a cosh⁡μ cos⁡ν cos⁡ϕ{displaystyle x=a cosh mu cos nu cos phi }x=a cosh mu cos nu cos phi 、


y=a cosh⁡μ cos⁡ν sin⁡ϕ{displaystyle y=a cosh mu cos nu sin phi }y=a cosh mu cos nu sin phi 、


z=a sinh⁡μ sin⁡ν{displaystyle z=a sinh mu sin nu }z=a sinh mu sin nu 。


其中，μ≥0{displaystyle mu geq 0}mu geq 0是個實數，角度−90∘≤ν≤90∘{displaystyle -90^{circ }leq nu leq 90^{circ }}-90^{{circ }}leq nu leq 90^{{circ }}，角度−180∘≤ϕ≤180∘{displaystyle -180^{circ }leq phi leq 180^{circ }}-180^{{circ }}leq phi leq 180^{{circ }}。


學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。



坐標曲面


μ{displaystyle mu }mu 坐標曲面是扁球面 ：



x2+y2a2cosh2⁡μ+z2a2sinh2⁡μ=cos2⁡ν+sin2⁡ν=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}cosh ^{2}mu }}+{frac {z^{2}}{a^{2}sinh ^{2}mu }}=cos ^{2}nu +sin ^{2}nu =1}{frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}cosh ^{{2}}mu }}+{frac {z^{{2}}}{a^{{2}}sinh ^{{2}}mu }}=cos ^{{2}}nu +sin ^{{2}}nu =1。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為acosh⁡μ{displaystyle acosh mu }acosh mu ，沿著z-軸，短半軸長度為asinh⁡μ{displaystyle asinh mu }asinh mu 。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為±a{displaystyle pm a}pm a。


ν{displaystyle nu }nu 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：



x2+y2a2cos2⁡ν−z2a2sin2⁡ν=cosh2⁡μ−sinh2⁡μ=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}cos ^{2}nu }}-{frac {z^{2}}{a^{2}sin ^{2}nu }}=cosh ^{2}mu -sinh ^{2}mu =1}{frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}cos ^{{2}}nu }}-{frac {z^{{2}}}{a^{{2}}sin ^{{2}}nu }}=cosh ^{{2}}mu -sinh ^{{2}}mu =1。

假若ν{displaystyle nu }nu 是正值，z{displaystyle z}z也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。ν{displaystyle nu }nu 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為±a{displaystyle pm a}pm a。


ϕ{displaystyle phi }phi 坐標曲面是個半平面 ：



xsin⁡ϕ−ycos⁡ϕ=0{displaystyle xsin phi -ycos phi =0}xsin phi -ycos phi =0。


逆變換


用直角坐標(x, y, z){displaystyle (x, y, z)}(x, y, z)來計算扁球面坐標(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}(mu , nu , phi )，方位角ϕ{displaystyle phi }phi 的公式為



tan⁡ϕ=yx{displaystyle tan phi ={frac {y}{x}}}tan phi ={frac {y}{x}}。

設定d1{displaystyle d_{1}}d_1與d2{displaystyle d_{2}}d_2分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為




d12=(x2+y2+a)2+z2{displaystyle d_{1}^{2}=({sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}d_{{1}}^{{2}}=({sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}+a)^{{2}}+z^{{2}}、


d22=(x2+y2−a)2+z2{displaystyle d_{2}^{2}=({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}d_{{2}}^{{2}}=({sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}-a)^{{2}}+z^{{2}}。


坐標μ{displaystyle mu }mu 和ν{displaystyle nu }nu 的方程式分別為




cosh⁡μ=d1+d22a{displaystyle cosh mu ={frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}cosh mu ={frac {d_{{1}}+d_{{2}}}{2a}}、


cos⁡ν=d1−d22a{displaystyle cos nu ={frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}cos nu ={frac {d_{{1}}-d_{{2}}}{2a}}。



標度因子


扁球面坐標μ{displaystyle mu }mu 與ν{displaystyle nu }nu 的標度因子相等：



hμ=hν=asinh2⁡μ+sin2⁡ν{displaystyle h_{mu }=h_{nu }=a{sqrt {sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu }}}h_{{mu }}=h_{{nu }}=a{sqrt {sinh ^{{2}}mu +sin ^{{2}}nu }}。

方位角ϕ{displaystyle phi }phi 的標度因子為



hϕ=acosh⁡μ cos⁡ν{displaystyle h_{phi }=acosh mu cos nu }h_{{phi }}=acosh mu cos nu 。

無窮小體積元素是



dV=a3cosh⁡μ cos⁡ν (sinh2⁡μ+sin2⁡ν)dμdνdϕ{displaystyle dV=a^{3}cosh mu cos nu left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)dmu dnu dphi }dV=a^{{3}}cosh mu cos nu left(sinh ^{{2}}mu +sin ^{{2}}nu right)dmu dnu dphi 。

拉普拉斯算子是



∇2Φ=1a2(sinh2⁡μ+sin2⁡ν)[1cosh⁡μ∂∂μ(cosh⁡μ∂Φ∂μ)+1cos⁡ν∂∂ν(cos⁡ν∂Φ∂ν)]+1a2(cosh2⁡μcos2⁡ν)∂2Φ∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)}}left[{frac {1}{cosh mu }}{frac {partial }{partial mu }}left(cosh mu {frac {partial Phi }{partial mu }}right)+{frac {1}{cos nu }}{frac {partial }{partial nu }}left(cos nu {frac {partial Phi }{partial nu }}right)right]+{frac {1}{a^{2}left(cosh ^{2}mu cos ^{2}nu right)}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial phi ^{2}}}}nabla ^{{2}}Phi ={frac {1}{a^{{2}}left(sinh ^{{2}}mu +sin ^{{2}}nu right)}}left[{frac {1}{cosh mu }}{frac {partial }{partial mu }}left(cosh mu {frac {partial Phi }{partial mu }}right)+{frac {1}{cos nu }}{frac {partial }{partial nu }}left(cos nu {frac {partial Phi }{partial nu }}right)right]+{frac {1}{a^{{2}}left(cosh ^{{2}}mu cos ^{{2}}nu right)}}{frac {partial ^{{2}}Phi }{partial phi ^{{2}}}}。

其它微分算子，像∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }nabla cdot {mathbf {F}}、∇×F{displaystyle nabla times mathbf {F} }nabla times {mathbf {F}}，都可以用(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}(mu , nu , phi )坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。



第二種表述


另外有一組有時會用到的扁球面坐標(ζ, ξ, ϕ){displaystyle (zeta , xi , phi )}(zeta , xi , phi )；其中，ζ=sinh⁡μ{displaystyle zeta =sinh mu }zeta =sinh mu ，ξ=sin⁡ν{displaystyle xi =sin nu }xi =sin nu [1]。ζ{displaystyle zeta }zeta坐標曲面是個扁球面，ξ{displaystyle xi }xi坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：




x=a(1+ζ2)(1−ξ2)cos⁡ϕ{displaystyle x=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},cos phi }x=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},cos phi 、


y=a(1+ζ2)(1−ξ2)sin⁡ϕ{displaystyle y=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},sin phi }y=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},sin phi 、


z=aζξ{displaystyle z=azeta xi }z=azeta xi 。


其中，實數0≤ζ<∞{displaystyle 0leq zeta <infty }0leq zeta <infty ，實數−1≤ξ<1{displaystyle -1leq xi <1}-1leq xi <1，角度−180∘≤ϕ≤180∘{displaystyle -180^{circ }leq phi leq 180^{circ }}-180^{{circ }}leq phi leq 180^{{circ }}。



標度因子


扁球面坐標(ζ, ξ, ϕ){displaystyle (zeta , xi , phi )}(zeta , xi , phi )的標度因子分別為：




hζ=aζ2+ξ21+ζ2{displaystyle h_{zeta }=a{sqrt {frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1+zeta ^{2}}}}}h_{{zeta }}=a{sqrt {{frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1+zeta ^{2}}}}}、


hξ=aζ2+ξ21−ξ2{displaystyle h_{xi }=a{sqrt {frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1-xi ^{2}}}}}h_{{xi }}=a{sqrt {{frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1-xi ^{2}}}}}、


hϕ=a(1+ζ2)(1−ξ2){displaystyle h_{phi }=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}}}h_{{phi }}=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}}。


無窮小體積元素是



dV=a3(ζ2+ξ2)dζdξdϕ{displaystyle dV=a^{3}(zeta ^{2}+xi ^{2}),dzeta ,dxi ,dphi }dV=a^{{3}}(zeta ^{2}+xi ^{2}),dzeta ,dxi ,dphi 。

拉普拉斯算子是



∇2V=1a2(ζ2+ξ2){∂∂ζ[(1+ζ2)∂V∂ζ]+∂∂ξ[(1−ξ2)∂V∂ξ]}+1a2(1+ζ2)(1−ξ2)∂2V∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}V={frac {1}{a^{2}left(zeta ^{2}+xi ^{2}right)}}left{{frac {partial }{partial zeta }}left[left(1+zeta ^{2}right){frac {partial V}{partial zeta }}right]+{frac {partial }{partial xi }}left[left(1-xi ^{2}right){frac {partial V}{partial xi }}right]right}+{frac {1}{a^{2}left(1+zeta ^{2}right)left(1-xi ^{2}right)}}{frac {partial ^{2}V}{partial phi ^{2}}}}nabla ^{{2}}V={frac {1}{a^{2}left(zeta ^{2}+xi ^{2}right)}}left{{frac {partial }{partial zeta }}left[left(1+zeta ^{2}right){frac {partial V}{partial zeta }}right]+{frac {partial }{partial xi }}left[left(1-xi ^{2}right){frac {partial V}{partial xi }}right]right}+{frac {1}{a^{2}left(1+zeta ^{2}right)left(1-xi ^{{2}}right)}}{frac {partial ^{2}V}{partial phi ^{{2}}}}。


第三種表述




圖3）第三種扁球面坐標系(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}(sigma , tau , phi )的三個坐標曲面。紅色扁球面是σ{displaystyle sigma }sigma 坐標曲面。藍色單葉雙曲面是τ{displaystyle tau }tau 坐標曲面。黃色半平面是ϕ{displaystyle phi }phi 坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是ϕ{displaystyle phi }phi ）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1，P2 （以黑色的圓球表示）觀察到。


另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}(sigma , tau , phi )[2]：




σ=cosh⁡μ{displaystyle sigma =cosh mu }sigma =cosh mu 、


τ=cos⁡ν{displaystyle tau =cos nu }tau =cos nu 、


ϕ=ϕ{displaystyle phi =phi }phi =phi 。


坐標σ{displaystyle sigma }sigma 必須大於或等於1。坐標τ{displaystyle tau }tau 必須在正負1之間。σ{displaystyle sigma }sigma 坐標曲面是扁球面。τ{displaystyle tau }tau 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負ν{displaystyle nu }nu 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標(x, y, ±z){displaystyle (x, y, pm z)}(x, y, pm z)映射至一組扁球面坐標系(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}(sigma , tau , phi )）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：




x=aστcos⁡ϕ{displaystyle x=asigma tau cos phi }x=asigma tau cos phi 、


y=aστsin⁡ϕ{displaystyle y=asigma tau sin phi }y=asigma tau sin phi 、


z2=a2(σ2−1)(1−τ2){displaystyle z^{2}=a^{2}left(sigma ^{2}-1right)left(1-tau ^{2}right)}z^{{2}}=a^{{2}}left(sigma ^{{2}}-1right)left(1-tau ^{{2}}right)。


坐標σ{displaystyle sigma }sigma 與τ{displaystyle tau }tau 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d1{displaystyle d_{1}}d_1，最近距離d2{displaystyle d_{2}}d_2：




d1+d2=2aσ{displaystyle d_{1}+d_{2}=2asigma }d_{{1}}+d_{{2}}=2asigma 、


d1−d2=2aτ{displaystyle d_{1}-d_{2}=2atau }d_{{1}}-d_{{2}}=2atau 。


所以，點P與焦圓的最遠距離是a(σ+τ){displaystyle a(sigma +tau )}a(sigma +tau )，點P與焦圓的最近距離是a(σ−τ){displaystyle a(sigma -tau )}a(sigma -tau )。



坐標曲面


σ{displaystyle sigma }sigma 坐標曲面是扁球面 ：



x2+y2a2σ2+z2a2(σ2−1)=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}sigma ^{2}}}+{frac {z^{2}}{a^{2}left(sigma ^{2}-1right)}}=1}{frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}sigma ^{{2}}}}+{frac {z^{{2}}}{a^{{2}}left(sigma ^{{2}}-1right)}}=1。

τ{displaystyle tau }tau 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：



x2+y2a2τ2−z2a2(1−τ2)=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}tau ^{2}}}-{frac {z^{2}}{a^{2}left(1-tau ^{2}right)}}=1}{frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}tau ^{{2}}}}-{frac {z^{{2}}}{a^{{2}}left(1-tau ^{{2}}right)}}=1。

ϕ{displaystyle phi }phi 坐標曲面是半個平面 ：



xsin⁡ϕ−ycos⁡ϕ=0{displaystyle xsin phi -ycos phi =0}xsin phi -ycos phi =0。


標度因子


扁球面坐標(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}(sigma , tau , phi )的標度因子分別為：




hσ=aσ2+τ2σ2+1{displaystyle h_{sigma }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{sigma ^{2}+1}}}}h_{{sigma }}=a{sqrt {{frac {sigma ^{{2}}+tau ^{{2}}}{sigma ^{{2}}+1}}}}、


hτ=aσ2+τ21−τ2{displaystyle h_{tau }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{1-tau ^{2}}}}}h_{{tau }}=a{sqrt {{frac {sigma ^{{2}}+tau ^{{2}}}{1-tau ^{{2}}}}}}、


hϕ=aστ{displaystyle h_{phi }=asigma tau }h_{{phi }}=asigma tau 。


無窮小體積元素是



dV=a3στσ2+τ2(σ2+1)(1−τ2)dσdτdϕ{displaystyle dV=a^{3}sigma tau {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{sqrt {left(sigma ^{2}+1right)left(1-tau ^{2}right)}}}dsigma dtau dphi }dV=a^{{3}}sigma tau {frac {sigma ^{{2}}+tau ^{{2}}}{{sqrt {left(sigma ^{{2}}+1right)left(1-tau ^{{2}}right)}}}}dsigma dtau dphi 。

拉普拉斯算子是



∇2Φ=1a2(σ2+τ2){∂∂σ[(σ2+1)∂Φ∂σ]+∂∂τ[(1−τ2)∂Φ∂τ]}+1a2(σ2+1)(1−τ2)∂2Φ∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sigma ^{2}+tau ^{2}right)}}left{{frac {partial }{partial sigma }}left[left(sigma ^{2}+1right){frac {partial Phi }{partial sigma }}right]+{frac {partial }{partial tau }}left[left(1-tau ^{2}right){frac {partial Phi }{partial tau }}right]right}+{frac {1}{a^{2}left(sigma ^{2}+1right)left(1-tau ^{2}right)}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial phi ^{2}}}}nabla ^{{2}}Phi ={frac {1}{a^{{2}}left(sigma ^{{2}}+tau ^{{2}}right)}}left{{frac {partial }{partial sigma }}left[left(sigma ^{{2}}+1right){frac {partial Phi }{partial sigma }}right]+{frac {partial }{partial tau }}left[left(1-tau ^{{2}}right){frac {partial Phi }{partial tau }}right]right}+{frac {1}{a^{{2}}left(sigma ^{{2}}+1right)left(1-tau ^{{2}}right)}}{frac {partial ^{{2}}Phi }{partial phi ^{{2}}}}。

其它微分算子，像∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }nabla cdot {mathbf {F}}、∇×F{displaystyle nabla times mathbf {F} }nabla times {mathbf {F}}，都可以用(σ, τ, z){displaystyle (sigma , tau , z)}(sigma , tau , z)坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。


如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。



參閱


















  • 查

  • 论

  • 编


正交坐标系

二维正交坐标系


  • 笛卡儿坐标系

  • 极坐标系

  • 拋物线坐标系

  • 双极坐标系

  • 双角坐标系

  • 双心坐标系

  • 双曲坐标系

  • 椭圆坐标系
三维正交坐标系


  • 直角坐标系

  • 圆柱坐标系

  • 球坐标系

  • 三维拋物线坐标

  • 抛物柱面坐标系

  • 抛物面坐标系

  • 扁球面坐标系

  • 长球面坐标系

  • 椭球坐标系

  • 椭圆柱坐标系

  • 圆环坐标系

  • 双球坐标系

  • 双极圆柱坐标系

  • 圆锥坐标系


參考文獻





  1. ^ Smythe, 1968。


  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 752。




參考目錄



不按照命名常規



  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用ξ1=asinh⁡μ{displaystyle xi _{1}=asinh mu }xi _{1}=asinh mu 、ξ2=sin⁡ν{displaystyle xi _{2}=sin nu }xi _{2}=sin nu 、ξ3=cos⁡ϕ{displaystyle xi _{3}=cos phi }xi _{3}=cos phi 。


  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用uk{displaystyle u_{k}}u_{k}來替代ξk{displaystyle xi _{k}}xi _{k}。


  • Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)


  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標ξ=asinh⁡μ{displaystyle xi =asinh mu }xi =asinh mu 、η=sin⁡ν{displaystyle eta =sin nu }eta =sin nu 、ϕ=ϕ{displaystyle phi =phi }phi =phi 。


按照命名常規



  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}(mu , nu , phi )，又加介紹了簡併的第三種表述(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}(sigma , tau , phi )。


  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度θ=90∘−ν{displaystyle theta =90^{circ }-nu }theta =90^{{circ }}-nu 來替代緯度ν{displaystyle nu }nu 。


  • Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規θ=90∘−ν{displaystyle theta =90^{circ }-nu }theta =90^{{circ }}-nu ，又改名ϕ{displaystyle phi }phi 為ψ{displaystyle psi }psi 。


特異命名常規



  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。



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章鱼与海女图

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