Mixing
扁球面坐標系
圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的μ=1{displaystyle mu =1}
。藍色半雙曲面的ν=45∘{displaystyle nu =45^{circ }}
。黃色半平面的ϕ=−60∘{displaystyle phi =-60^{circ }}
（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是−60∘{displaystyle -60^{circ }}
）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為(1.09, −1.89, 1.66){displaystyle (1.09, -1.89, 1.66)}
。
圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（μ{displaystyle mu }
-等值線）變成上圖的紅色扁球面（μ{displaystyle mu }坐標曲面），而x>0{displaystyle x>0}
青藍色雙曲線（ν{displaystyle nu }
-等值線）則變成藍色半雙曲面（ν{displaystyle nu }坐標曲面）。扁球面坐標系（英语：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點F1{displaystyle F_{1}}
當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。
目录
1 第一種表述
1.1 坐標曲面
1.2 逆變換
1.3 標度因子
2 第二種表述
2.1 標度因子
3 第三種表述
3.1 坐標曲面
3.2 標度因子
4 參閱
5 參考文獻
6 參考目錄
6.1 不按照命名常規
6.2 按照命名常規
6.3 特異命名常規
第一種表述
在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}
x=a coshμ cosν cosϕ{displaystyle x=a cosh mu cos nu cos phi }、
y=a coshμ cosν sinϕ{displaystyle y=a cosh mu cos nu sin phi }、
z=a sinhμ sinν{displaystyle z=a sinh mu sin nu }。
其中，μ≥0{displaystyle mu geq 0}
學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。
坐標曲面
μ{displaystyle mu }
x2+y2a2cosh2μ+z2a2sinh2μ=cos2ν+sin2ν=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}cosh ^{2}mu }}+{frac {z^{2}}{a^{2}sinh ^{2}mu }}=cos ^{2}nu +sin ^{2}nu =1}。
它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為acoshμ{displaystyle acosh mu }
ν{displaystyle nu }
x2+y2a2cos2ν−z2a2sin2ν=cosh2μ−sinh2μ=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}cos ^{2}nu }}-{frac {z^{2}}{a^{2}sin ^{2}nu }}=cosh ^{2}mu -sinh ^{2}mu =1}。
假若ν{displaystyle nu }
ϕ{displaystyle phi }
xsinϕ−ycosϕ=0{displaystyle xsin phi -ycos phi =0}。
逆變換
用直角坐標(x, y, z){displaystyle (x, y, z)}
tanϕ=yx{displaystyle tan phi ={frac {y}{x}}}。
設定d1{displaystyle d_{1}}
d12=(x2+y2+a)2+z2{displaystyle d_{1}^{2}=({sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}、
d22=(x2+y2−a)2+z2{displaystyle d_{2}^{2}=({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}。
坐標μ{displaystyle mu }
coshμ=d1+d22a{displaystyle cosh mu ={frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}、
cosν=d1−d22a{displaystyle cos nu ={frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}。
標度因子
扁球面坐標μ{displaystyle mu }
hμ=hν=asinh2μ+sin2ν{displaystyle h_{mu }=h_{nu }=a{sqrt {sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu }}}。
方位角ϕ{displaystyle phi }
hϕ=acoshμ cosν{displaystyle h_{phi }=acosh mu cos nu }。
無窮小體積元素是
dV=a3coshμ cosν (sinh2μ+sin2ν)dμdνdϕ{displaystyle dV=a^{3}cosh mu cos nu left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)dmu dnu dphi }。
拉普拉斯算子是
∇2Φ=1a2(sinh2μ+sin2ν)[1coshμ∂∂μ(coshμ∂Φ∂μ)+1cosν∂∂ν(cosν∂Φ∂ν)]+1a2(cosh2μcos2ν)∂2Φ∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)}}left[{frac {1}{cosh mu }}{frac {partial }{partial mu }}left(cosh mu {frac {partial Phi }{partial mu }}right)+{frac {1}{cos nu }}{frac {partial }{partial nu }}left(cos nu {frac {partial Phi }{partial nu }}right)right]+{frac {1}{a^{2}left(cosh ^{2}mu cos ^{2}nu right)}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial phi ^{2}}}}。
其它微分算子，像∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }
第二種表述
另外有一組有時會用到的扁球面坐標(ζ, ξ, ϕ){displaystyle (zeta , xi , phi )}
x=a(1+ζ2)(1−ξ2)cosϕ{displaystyle x=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},cos phi }、
y=a(1+ζ2)(1−ξ2)sinϕ{displaystyle y=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}},sin phi }、
z=aζξ{displaystyle z=azeta xi }。
其中，實數0≤ζ<∞{displaystyle 0leq zeta <infty }
標度因子
扁球面坐標(ζ, ξ, ϕ){displaystyle (zeta , xi , phi )}
hζ=aζ2+ξ21+ζ2{displaystyle h_{zeta }=a{sqrt {frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1+zeta ^{2}}}}}、
hξ=aζ2+ξ21−ξ2{displaystyle h_{xi }=a{sqrt {frac {zeta ^{2}+xi ^{2}}{1-xi ^{2}}}}}、
hϕ=a(1+ζ2)(1−ξ2){displaystyle h_{phi }=a{sqrt {(1+zeta ^{2})(1-xi ^{2})}}}。
無窮小體積元素是
dV=a3(ζ2+ξ2)dζdξdϕ{displaystyle dV=a^{3}(zeta ^{2}+xi ^{2}),dzeta ,dxi ,dphi }。
拉普拉斯算子是
∇2V=1a2(ζ2+ξ2){∂∂ζ[(1+ζ2)∂V∂ζ]+∂∂ξ[(1−ξ2)∂V∂ξ]}+1a2(1+ζ2)(1−ξ2)∂2V∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}V={frac {1}{a^{2}left(zeta ^{2}+xi ^{2}right)}}left{{frac {partial }{partial zeta }}left[left(1+zeta ^{2}right){frac {partial V}{partial zeta }}right]+{frac {partial }{partial xi }}left[left(1-xi ^{2}right){frac {partial V}{partial xi }}right]right}+{frac {1}{a^{2}left(1+zeta ^{2}right)left(1-xi ^{2}right)}}{frac {partial ^{2}V}{partial phi ^{2}}}}。
第三種表述
圖3）第三種扁球面坐標系(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}
的三個坐標曲面。紅色扁球面是σ{displaystyle sigma }
坐標曲面。藍色單葉雙曲面是τ{displaystyle tau }
坐標曲面。黃色半平面是ϕ{displaystyle phi }坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是ϕ{displaystyle phi }）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1，P2 （以黑色的圓球表示）觀察到。另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}
σ=coshμ{displaystyle sigma =cosh mu }、
τ=cosν{displaystyle tau =cos nu }、
ϕ=ϕ{displaystyle phi =phi }。
坐標σ{displaystyle sigma }
x=aστcosϕ{displaystyle x=asigma tau cos phi }、
y=aστsinϕ{displaystyle y=asigma tau sin phi }、
z2=a2(σ2−1)(1−τ2){displaystyle z^{2}=a^{2}left(sigma ^{2}-1right)left(1-tau ^{2}right)}。
坐標σ{displaystyle sigma }
d1+d2=2aσ{displaystyle d_{1}+d_{2}=2asigma }、
d1−d2=2aτ{displaystyle d_{1}-d_{2}=2atau }。
所以，點P與焦圓的最遠距離是a(σ+τ){displaystyle a(sigma +tau )}
坐標曲面
σ{displaystyle sigma }
x2+y2a2σ2+z2a2(σ2−1)=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}sigma ^{2}}}+{frac {z^{2}}{a^{2}left(sigma ^{2}-1right)}}=1}。
τ{displaystyle tau }
x2+y2a2τ2−z2a2(1−τ2)=1{displaystyle {frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}tau ^{2}}}-{frac {z^{2}}{a^{2}left(1-tau ^{2}right)}}=1}。
ϕ{displaystyle phi }
xsinϕ−ycosϕ=0{displaystyle xsin phi -ycos phi =0}
標度因子
扁球面坐標(σ, τ, ϕ){displaystyle (sigma , tau , phi )}
hσ=aσ2+τ2σ2+1{displaystyle h_{sigma }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{sigma ^{2}+1}}}}、
hτ=aσ2+τ21−τ2{displaystyle h_{tau }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{1-tau ^{2}}}}}、
hϕ=aστ{displaystyle h_{phi }=asigma tau }。
無窮小體積元素是
dV=a3στσ2+τ2(σ2+1)(1−τ2)dσdτdϕ{displaystyle dV=a^{3}sigma tau {frac {sigma ^{2}+tau ^{2}}{sqrt {left(sigma ^{2}+1right)left(1-tau ^{2}right)}}}dsigma dtau dphi }。
拉普拉斯算子是
∇2Φ=1a2(σ2+τ2){∂∂σ[(σ2+1)∂Φ∂σ]+∂∂τ[(1−τ2)∂Φ∂τ]}+1a2(σ2+1)(1−τ2)∂2Φ∂ϕ2{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sigma ^{2}+tau ^{2}right)}}left{{frac {partial }{partial sigma }}left[left(sigma ^{2}+1right){frac {partial Phi }{partial sigma }}right]+{frac {partial }{partial tau }}left[left(1-tau ^{2}right){frac {partial Phi }{partial tau }}right]right}+{frac {1}{a^{2}left(sigma ^{2}+1right)left(1-tau ^{2}right)}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial phi ^{2}}}}。
其它微分算子，像∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。
參閱
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參考文獻
^ Smythe, 1968。
^ Abramowitz and Stegun, p. 752。
參考目錄
不按照命名常規
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用ξ1=asinhμ{displaystyle xi _{1}=asinh mu }、ξ2=sinν{displaystyle xi _{2}=sin nu }
、ξ3=cosϕ{displaystyle xi _{3}=cos phi }
。
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用uk{displaystyle u_{k}}來替代ξk{displaystyle xi _{k}}
。
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標ξ=asinhμ{displaystyle xi =asinh mu }、η=sinν{displaystyle eta =sin nu }
、ϕ=ϕ{displaystyle phi =phi }
按照命名常規
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述(μ, ν, ϕ){displaystyle (mu , nu , phi )}
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度θ=90∘−ν{displaystyle theta =90^{circ }-nu }來替代緯度ν{displaystyle nu }
Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規θ=90∘−ν{displaystyle theta =90^{circ }-nu }。
特異命名常規
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。
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