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橢圓坐標系
橢圓坐標系
橢圓坐標系（英语：Elliptic coordinate system）是一種二維正交坐標系。其坐標曲線是共焦的橢圓與雙曲線。橢圓坐標系的兩個焦點 F1{displaystyle F_{1}}
目录
1 基本定義
2 標度因子
3 第二種定義
4 第二種標度因子
5 外推至更高維數
6 應用
7 參閱
8 參考文獻
基本定義
橢圓坐標 (μ, ν){displaystyle (mu , nu )}
x=a coshμ cosν{displaystyle x=a cosh mu cos nu }、
y=a sinhμ sinν{displaystyle y=a sinh mu sin nu }；
其中， μ≥0{displaystyle mu geq 0}
在複值平面，等價關係式為
x+iy=a cosh(μ+iν){displaystyle x+iy=a cosh(mu +inu )}。
以下兩個三角恆等式
x2a2cosh2μ+y2a2sinh2μ=cos2ν+sin2ν=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}cosh ^{2}mu }}+{frac {y^{2}}{a^{2}sinh ^{2}mu }}=cos ^{2}nu +sin ^{2}nu =1}、
- x2a2cos2ν−y2a2sin2ν=cosh2μ−sinh2μ=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}cos ^{2}nu }}-{frac {y^{2}}{a^{2}sin ^{2}nu }}=cosh ^{2}mu -sinh ^{2}mu =1}
表明， μ{displaystyle mu }
標度因子
橢圓坐標 μ{displaystyle mu }
hμ=hν=asinh2μ+sin2ν{displaystyle h_{mu }=h_{nu }=a{sqrt {sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu }}}，
為了簡化標度因子的計算，可以用二倍角公式來等價地表達為
hμ=hν=a12(cosh2μ−cos2ν){displaystyle h_{mu }=h_{nu }=a{sqrt {{frac {1}{2}}(cosh 2mu -cos 2nu }})}。
無窮小面積元素等於
dA=a2(sinh2μ+sin2ν)dμdν{displaystyle dA=a^{2}left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)dmu dnu }。
拉普拉斯算子是
∇2Φ=1a2(sinh2μ+sin2ν)(∂2Φ∂μ2+∂2Φ∂ν2){displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial mu ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial nu ^{2}}}right)}。
其它微分算子，例如 ∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }
第二種定義
另外有一種在直覺上比較賦有幾何性的橢圓坐標 (σ, τ){displaystyle (sigma , tau )}
![[-1, 1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af00b66b52652ce32454518d1223d68508bd1aed)
使用橢圓坐標，任何在 xy-平面上的點 (σ, τ){displaystyle (sigma , tau )}
d1+d2=2aσ{displaystyle d_{1}+d_{2}=2asigma }、
d1−d2=2aτ{displaystyle d_{1}-d_{2}=2atau }。
或者，
d1=a(σ+τ){displaystyle d_{1}=a(sigma +tau )}、
d2=a(σ−τ){displaystyle d_{2}=a(sigma -tau )}。
第二種橢圓坐標有一個缺點，那就是它與直角坐標並不保持一一對應關係：
x=aστ{displaystyle x=asigma tau }、
y2=a2(σ2−1)(1−τ2){displaystyle y^{2}=a^{2}left(sigma ^{2}-1right)left(1-tau ^{2}right)}。
第二種標度因子
第二種橢圓坐標 (σ, τ){displaystyle (sigma , tau )}
hσ=aσ2−τ2σ2−1{displaystyle h_{sigma }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{sigma ^{2}-1}}}}、
hτ=aσ2−τ21−τ2{displaystyle h_{tau }=a{sqrt {frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{1-tau ^{2}}}}}。
所以，無窮小面積元素等於
dA=a2σ2−τ2(σ2−1)(1−τ2)dσdτ{displaystyle dA=a^{2}{frac {sigma ^{2}-tau ^{2}}{sqrt {left(sigma ^{2}-1right)left(1-tau ^{2}right)}}}dsigma dtau }。
拉普拉斯算子是
∇2Φ=1a2(σ2−τ2)[σ2−1∂∂σ(σ2−1∂Φ∂σ)+1−τ2∂∂τ(1−τ2∂Φ∂τ)]{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{a^{2}left(sigma ^{2}-tau ^{2}right)}}left[{sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial }{partial sigma }}left({sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial Phi }{partial sigma }}right)+{sqrt {1-tau ^{2}}}{frac {partial }{partial tau }}left({sqrt {1-tau ^{2}}}{frac {partial Phi }{partial tau }}right)right]}。
其它微分算子，例如 ∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }
外推至更高維數
橢圓坐標系是幾種三維正交坐標系的基礎。將橢圓坐標系往 z-軸方向投射，則可以得到橢圓柱坐標系。將橢圓坐標系繞著 x-軸旋轉，就可以得到長球面坐標系，而繞著 y-軸旋轉，又可以得到扁球面坐標系；在這裏，x-軸是連接兩個焦點的直軸，y-軸是在兩個焦點中間的直軸。
應用
橢圓坐標最經典的用法是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，橢圓坐標允許分離變數法的使用。擧一個典型的例題，有一塊寬度為 2a{displaystyle 2a}
參閱
- 拉普拉斯-龍格-冷次向量
參考文獻
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 182–183. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
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