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拉普拉斯算子
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在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 Δ{displaystyle Delta }
這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。
拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。
拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。
拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。
目录
1 定义
2 坐標表示式
2.1 二維空間
2.2 三維空間
2.3 N维空间
3 恒等式
4 推广
4.1 复杂空间上的实值函数
4.2 值域爲复杂空间
4.2.1 向量值函數的拉普拉斯算子
4.2.2 拉普拉斯－贝尔特拉米算子
5 参考文献
6 外部連結
定义
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 f{displaystyle f}
Δf=∇2f=∇⋅∇f{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f}── (1)
f{displaystyle f}
Δf=∑i=1n∂2f∂xi2{displaystyle Delta f=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}^{2}}}}── (2)
作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：
- Δf=tr(H(f)).{displaystyle Delta f=mathrm {tr} (H(f)).,!}
坐標表示式
二維空間
- Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}}
- Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}}
- 其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
- 另外極坐標的表示法為：
- Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2{displaystyle Delta f={1 over r}{partial over partial r}left(r{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}}
- Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2{displaystyle Delta f={1 over r}{partial over partial r}left(r{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}}
三維空間
笛卡兒坐標系下的表示法
- Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}.}
- Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}.}
圓柱坐標系下的表示法
- Δf=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂θ2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={1 over rho }{partial over partial rho }left(rho {partial f over partial rho }right)+{1 over rho ^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}.}
- Δf=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂θ2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={1 over rho }{partial over partial rho }left(rho {partial f over partial rho }right)+{1 over rho ^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}.}
球坐標系下的表示法
- Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂f∂θ)+1r2sin2θ∂2f∂ϕ2.{displaystyle Delta f={1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial phi ^{2}}.}
- Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂f∂θ)+1r2sin2θ∂2f∂ϕ2.{displaystyle Delta f={1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial phi ^{2}}.}
N维空间
在参数方程为x=rθ∈RN{displaystyle x=rtheta in {mathbb {R} }^{N}}
- Δf=∂2f∂r2+N−1r∂f∂r+1r2ΔSN−1f{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial r^{2}}}+{frac {N-1}{r}}{frac {partial f}{partial r}}+{frac {1}{r^{2}}}Delta _{S^{N-1}}f}
其中ΔSN−1{displaystyle Delta _{S^{N-1}}}
恒等式
- 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：
Δ(fg)=(Δf)g+2((∇f)⋅(∇g))+f(Δg){displaystyle Delta (fg)=(Delta f)g+2((nabla f)cdot (nabla g))+f(Delta g)}。
f是径向函数f(r){displaystyle f(r)}
2(∇f(r))⋅(∇Ylm(θ,ϕ))=0{displaystyle 2(nabla f(r))cdot (nabla Y_{lm}(theta ,phi ))=0}。
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
ΔYℓm(θ,ϕ)=−ℓ(ℓ+1)r2Yℓm(θ,ϕ){displaystyle Delta Y_{ell m}(theta ,phi )=-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}Y_{ell m}(theta ,phi )}。
因此：
Δ(f(r)Yℓm(θ,ϕ))=(d2f(r)dr2+2rdf(r)dr−ℓ(ℓ+1)r2f(r))Yℓm(θ,ϕ){displaystyle Delta (f(r)Y_{ell m}(theta ,phi ))=left({frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {df(r)}{dr}}-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}f(r)right)Y_{ell m}(theta ,phi )}。
推广
复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
- ◻=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2−1c2∂2∂t2.{displaystyle square ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} over partial z^{2}}-{frac {1}{c^{2}}}{partial ^{2} over partial t^{2}}.}
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
值域爲复杂空间
向量值函數的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽
∇2A=(∇2Ax,∇2Ay,∇2Az){displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =(nabla ^{2}A_{x},nabla ^{2}A_{y},nabla ^{2}A_{z})}．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：
∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A){displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =nabla (nabla cdot mathbf {A} )-nabla times (nabla times mathbf {A} )}，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．
拉普拉斯－贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。
参考文献
Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.
外部連結
- MathWorld: Laplacian
Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain
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