拉普拉斯算子





































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在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 Δ{displaystyle Delta }Delta 、∇2{displaystyle nabla ^{2}}{displaystyle nabla ^{2}} 或 ∇⋅∇{displaystyle nabla cdot nabla }{displaystyle nabla cdot nabla }。


這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。


拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。


拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。


拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测（英语：Blob detection）和边缘检测等的各种任务。




目录






  • 1 定义


  • 2 坐標表示式


    • 2.1 二維空間


    • 2.2 三維空間


    • 2.3 N维空间




  • 3 恒等式


  • 4 推广


    • 4.1 复杂空间上的实值函数


    • 4.2 值域爲复杂空间


      • 4.2.1 向量值函數的拉普拉斯算子


      • 4.2.2 拉普拉斯－贝尔特拉米算子






  • 5 参考文献


  • 6 外部連結





定义


拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 f{displaystyle f} f 先作梯度運算（∇f{displaystyle nabla f}nabla f）後，再作散度運算（∇⋅∇f{displaystyle nabla cdot nabla f}nabla cdot nabla f）的結果。因此如果 f{displaystyle f} f 是二阶可微的实函数，则 f{displaystyle f} f 的拉普拉斯算子定义为：



Δf=∇2f=∇⋅∇f{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f}{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f} ── (1)

f{displaystyle f} f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 xi{displaystyle x_{i}}x_{i} 中的所有非混合二阶偏导数：



Δf=∑i=1n∂2f∂xi2{displaystyle Delta f=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}^{2}}}}{displaystyle Delta f=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}^{2}}}} ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。


函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：


Δf=tr(H(f)).{displaystyle Delta f=mathrm {tr} (H(f)).,!}Delta f = mathrm{tr}(H(f)).,!


坐標表示式



二維空間


Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}}Delta f = frac{partial^2f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2}


其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標

另外極坐標的表示法為：
Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2{displaystyle Delta f={1 over r}{partial over partial r}left(r{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}} Delta f <br /> = {1 over r} {partial over partial r} left( r {partial f over partial r} right) <br /> + {1 over r^2} {partial^2 f over partial theta^2}




三維空間



笛卡兒坐標系下的表示法
Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}.}<br /> Delta f = frac{partial^2 f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2} + frac{partial^2 f}{partial z^2}.<br />



圓柱坐標系下的表示法
Δf=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂θ2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={1 over rho }{partial over partial rho }left(rho {partial f over partial rho }right)+{1 over rho ^{2}}{partial ^{2}f over partial theta ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}.} Delta f <br /> = {1 over rho} {partial over partial rho}<br /> left( rho {partial f over partial rho} right) <br /> + {1 over rho^2} {partial^2 f over partial theta^2}<br /> + {partial^2 f over partial z^2 }. <br />



球坐標系下的表示法
Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂ϕ2.{displaystyle Delta f={1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial phi ^{2}}.} Delta f <br /> = {1 over r^2} {partial over partial r}<br /> left( r^2 {partial f over partial r} right) <br /> + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta}<br /> left( sin theta {partial f over partial theta} right) <br /> + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial phi^2}.<br />



N维空间


在参数方程为x=rθ∈RN{displaystyle x=rtheta in {mathbb {R} }^{N}}x=rtheta in {mathbb R}^N（其中r∈[0,+∞){displaystyle rin [0,+infty )}r in [0,+infty)以及θ∈SN−1{displaystyle theta in S^{N-1}} theta in S^{N-1}）的N{displaystyle N}N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：


Δf=∂2f∂r2+N−1r∂f∂r+1r2ΔSN−1f{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial r^{2}}}+{frac {N-1}{r}}{frac {partial f}{partial r}}+{frac {1}{r^{2}}}Delta _{S^{N-1}}f} Delta f<br /> = frac{partial^2 f}{partial r^2}<br /> + frac{N-1}{r} frac{partial f}{partial r}<br /> + frac{1}{r^2} Delta_{S^{N-1}} f<br />

其中ΔSN−1{displaystyle Delta _{S^{N-1}}}Delta_{S^{N-1}}是N−1{displaystyle N-1}N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把∂2f∂r2+N−1r∂f∂r{displaystyle {partial ^{2}f over partial r^{2}}+{frac {N-1}{r}}{frac {partial f}{partial r}}}{partial^2 f over partial r^2}<br /> + frac{N-1}{r} frac{partial f}{partial r}的项写成1rN−1∂∂r(rN−1∂f∂r){displaystyle {frac {1}{r^{N-1}}}{frac {partial }{partial r}}{Bigl (}r^{N-1}{frac {partial f}{partial r}}{Bigr )}}frac{1}{r^{N-1}} frac{partial}{partial r} Bigl(r^{N-1} frac{partial f}{partial r} Bigr)。



恒等式


  • 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：


Δ(fg)=(Δf)g+2((∇f)⋅(∇g))+f(Δg){displaystyle Delta (fg)=(Delta f)g+2((nabla f)cdot (nabla g))+f(Delta g)}{displaystyle Delta (fg)=(Delta f)g+2((nabla f)cdot (nabla g))+f(Delta g)}。

f是径向函数f(r){displaystyle f(r)}f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,ϕ){displaystyle Y_{lm}(theta ,phi )}Y_{lm}(theta,phi)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r){displaystyle f(r)}f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：



2(∇f(r))⋅(∇Ylm(θ,ϕ))=0{displaystyle 2(nabla f(r))cdot (nabla Y_{lm}(theta ,phi ))=0}{displaystyle 2(nabla f(r))cdot (nabla Y_{lm}(theta ,phi ))=0}。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：



ΔYℓm(θ,ϕ)=−ℓ(ℓ+1)r2Yℓm(θ,ϕ){displaystyle Delta Y_{ell m}(theta ,phi )=-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}Y_{ell m}(theta ,phi )}{displaystyle Delta Y_{ell m}(theta ,phi )=-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}Y_{ell m}(theta ,phi )}。

因此：



Δ(f(r)Yℓm(θ,ϕ))=(d2f(r)dr2+2rdf(r)dr−ℓ(ℓ+1)r2f(r))Yℓm(θ,ϕ){displaystyle Delta (f(r)Y_{ell m}(theta ,phi ))=left({frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {df(r)}{dr}}-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}f(r)right)Y_{ell m}(theta ,phi )}{displaystyle Delta (f(r)Y_{ell m}(theta ,phi ))=left({frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {df(r)}{dr}}-{frac {ell (ell +1)}{r^{2}}}f(r)right)Y_{ell m}(theta ,phi )}。


推广



复杂空间上的实值函数


拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。


在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：


◻=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2−1c2∂2∂t2.{displaystyle square ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} over partial z^{2}}-{frac {1}{c^{2}}}{partial ^{2} over partial t^{2}}.}{displaystyle square ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} over partial z^{2}}-{frac {1}{c^{2}}}{partial ^{2} over partial t^{2}}.}

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。



值域爲复杂空间



向量值函數的拉普拉斯算子


更多信息：en:Vector Laplacian

拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽



∇2A=(∇2Ax,∇2Ay,∇2Az){displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =(nabla ^{2}A_{x},nabla ^{2}A_{y},nabla ^{2}A_{z})}{displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =(nabla ^{2}A_{x},nabla ^{2}A_{y},nabla ^{2}A_{z})}．

更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：



∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A){displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =nabla (nabla cdot mathbf {A} )-nabla times (nabla times mathbf {A} )}{displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =nabla (nabla cdot mathbf {A} )-nabla times (nabla times mathbf {A} )}，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．


拉普拉斯－贝尔特拉米算子


主条目：拉普拉斯－贝尔特拉米算子和拉普拉斯－德拉姆算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。


另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。



参考文献




  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 


  • Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 


  • Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 



外部連結



  • MathWorld: Laplacian


  • Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain





规范控制


  • GND: 4166772-4

  • NDL: 01181008



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