代数数域

  提示：本条目的主题不是数域，也不是全体代数数构成的域。

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张形成的扩域^[1][2]。任何代数数域都可以视作Q{displaystyle mathbb {Q} }上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

目录

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  1 定义
  
  
  
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    1.1 预备知识
    
  
  
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    1.2 定义
    
  
  
  
  


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  2 例子
  


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  3 代数数域与代数数
  


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  4 代数整数
  


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  5 代数数域的基
  
  
  
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    5.1 整数基
    
  
  
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    5.2 乘幂基
    
  
  
  
  


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  6 参见
  


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  7 注释
  


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  8 参考来源
  

定义

预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }。

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S纪录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域^{[N 1]}L称为“F（添加S中元素得到）的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组：(x1,x2,⋯,xn){displaystyle (x_{1},x_{2},cdots ,x_{n})}。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张

设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作[L : F]。

定义

若域L是有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张，则称之为代数数域^[3]:3。

例子

最小最基本的代数数域是有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }。因为Q{displaystyle mathbb {Q} }自身是Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，维数是1。因此Q{displaystyle mathbb {Q} }是Q{displaystyle mathbb {Q} }自身的域扩张，[Q:Q]=1.{displaystyle [mathbb {Q} :mathbb {Q} ]=1.}

高斯有理数Q(i){displaystyle mathbb {Q} (i)}（i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

a+bi,a,b∈Q{displaystyle a+bi,;;a,bin mathbb {Q} }

的数构成的集合。可以证明，Q(i){displaystyle mathbb {Q} (i)}是域，而且是Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，以{1,i}{displaystyle {1,i}}为基，空间维数是2。所以Q(i){displaystyle mathbb {Q} (i)}是Q{displaystyle mathbb {Q} }的二次扩张，[Q(i):Q]=2.{displaystyle [mathbb {Q} (i):mathbb {Q} ]=2.}

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域Q(d){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}})}在Q{displaystyle mathbb {Q} }中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明Q(d){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}})}是Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，以{1,d}{displaystyle {1,{sqrt {d}}}}为基，空间维数是2，即[Q(d):Q]=2.{displaystyle [mathbb {Q} ({sqrt {d}}):mathbb {Q} ]=2.}

考虑多项式方程xn=1{displaystyle x^{n}=1}的n个复根ξ1,ξ2,⋯,ξn{displaystyle xi _{1},xi _{2},cdots ,xi _{n}}，它们被称做n次单位根，具体可以写作：

ξi=e2iπn,i∈{0,1,⋯,n−1}.{displaystyle xi _{i}=e^{frac {2ipi }{n}},;;iin {0,1,cdots ,n-1}.}

在Q{displaystyle mathbb {Q} }中添加ξ1,ξ2,⋯,ξn{displaystyle xi _{1},xi _{2},cdots ,xi _{n}}得到的扩域称为n次分圆域，记作Q(ξn){displaystyle mathbb {Q} (xi _{n})}。可以证明Q(ξn){displaystyle mathbb {Q} (xi _{n})}是有限维Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，维数为φ(n){displaystyle varphi (n)}（φ{displaystyle varphi }是数论中的欧拉函数），即[Q(ξn):Q]=φ(n).{displaystyle [mathbb {Q} (xi _{n}):mathbb {Q} ]=varphi (n).}

实数域R{displaystyle mathbb {R} }、复数域C{displaystyle mathbb {C} }和p进数域Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}}都不是Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是Q{displaystyle mathbb {Q} }的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域C{displaystyle {mathcal {C}}}和全体代数数构成的域A{displaystyle {mathcal {A}}}（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数域与代数数

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数^{[N 2]}。给定一个代数数域L，依定义，域扩张Q⊂L{displaystyle mathbb {Q} subset L}是有限扩张。设其次数为正整数m^{[N 3]}。将L看作是m维Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，在L中任意选一个不属于Q{displaystyle mathbb {Q} }的数z，它可以被看作是m维Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量：

1,z,z2,⋯,zm{displaystyle 1,z,z^{2},cdots ,z^{m}}

它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数：a0,a1,⋯,am{displaystyle a_{0},a_{1},cdots ,a_{m}}，使得：

a0+a1z+⋯+amzm=0{displaystyle a_{0}+a_{1}z+cdots +a_{m}z^{m}=0}.

考虑非零多项式P=a0+a1X+⋯+amXm{displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+cdots +a_{m}X^{m}}，P(z)=0{displaystyle P(z)=0}，即z是多项式P{displaystyle P}的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数

主条目：代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数^[3]:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}。例如Q{displaystyle mathbb {Q} }上的代数整数环就是Z{displaystyle mathbb {Z} }，因此在代数数域研究中Z{displaystyle mathbb {Z} }也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}与Z{displaystyle mathbb {Z} }有不同的代数性质。OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}不一定是唯一分解整环。举例来说，设F=Q(−5){displaystyle F=mathbb {Q} ({sqrt {-5}})}，F中的整数环是OF=Z[−5]{displaystyle {mathcal {O}}_{F}=mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]}。2,3,1+−5,1−−5{displaystyle 2,3,1+{sqrt {-5}},1-{sqrt {-5}}}都是OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}中的“素数”^{[N 4]}。正整数6，作为OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}中的元素，它的素因数分解有两种方式：

6=2×3=(1+−5)×(1−−5).{displaystyle 6=2times 3=left(1+{sqrt {-5}}right)times left(1-{sqrt {-5}}right).}

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论^[4]。代数数论中一个重要的事实是：OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来^[2]。

代数数域的基

整数基

设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合：

B={b1,b2,⋯,bn}{displaystyle B={b_{1},b_{2},cdots ,b_{n}}}

使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合^{[N 5]}，即：

∀x∈OF,∃!(m1,m2,⋯,mn)∈Zn{displaystyle forall xin {mathcal {O}}_{F},;;exists !;(m_{1},m_{2},cdots ,m_{n})in mathbb {Z} ^{n}}，使得x=m1b1+m2b2+⋯+mnbn.{displaystyle x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+cdots +m_{n}b_{n}.}

换句话说，整数基B是OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}作为自由Z{displaystyle mathbb {Z} }-模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

∀x∈F,∃!(q1,q2,⋯,qn)∈Qn{displaystyle forall xin F,;;exists !;(q_{1},q_{2},cdots ,q_{n})in mathbb {Q} ^{n}}，使得x=q1b1+q2b2+⋯+qnbn.{displaystyle x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+cdots +q_{n}b_{n}.}

这说明B是F作为n维Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有q1,q2,⋯,qn{displaystyle q_{1},q_{2},cdots ,q_{n}}都是有理整数。

乘幂基

设F为n次代数数域。作为n维Q{displaystyle mathbb {Q} }-向量空间，F包含如下形式的基：

B={1,β,β2,⋯,βn−1}{displaystyle B={1,beta ,beta ^{2},cdots ,beta ^{n-1}}}

其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张Q⊂F{displaystyle mathbb {Q} subset F}的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（monogenic field）。

参见

• 
  狄利克雷单位定理, S-单位
  


• 库默尔扩张


• 
  闵可夫斯基定理 几何数论
  


• Chebotarev稠密定理


• 射线类群


• 分解群


• 亏格域

注释

1. 
   ^ “最小的”指所有同时包含F和S的域的交集。
   


2. 
   ^ 任意有理数q都是一次多项式X - q的根。
   


3. 
   ^ 此处假设这个域扩张不是平凡的，即L不是Q{displaystyle mathbb {Q} }自身，也即是说假设m大于1。
   


4. 
   ^ 即不能表示成另两个OF{displaystyle {mathcal {O}}_{F}}中的不等于1或-1的数的乘积，正式名称为不可约元素或素元。
   


5. 
   ^ 在不计顺序的情况下。
   

参考来源

1. 
   ^ 蓝以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大学出版社. 2007年7月: 9. ISBN 978-7-301-05370-6. 
   


2. 
   ^ ^2.02.1 张贤科. 代数数论介绍. 清华大学 数学科学系. [2014-05-26]. 
   


3. 
   ^ ^3.03.1 David Hilbert. The Theory of Algebraic Number Fields. Springer（插图版）. 1998. ISBN 9783540627791. 
   


4. 
   ^ 康明昌. 費馬問題. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期. 
   

• 
  Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2  请检查|date=中的日期值 (帮助)
  


• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000


• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999


• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005


• 
  Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
  


• 
  Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 
  


• 
  Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 
  


• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

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