Mixing
伯努利数
| n | B± n |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | ±1/2 |
| 2 | 1/6 |
| 3 | 0 |
| 4 | −1/30 |
| 5 | 0 |
| 6 | 1/42 |
| 7 | 0 |
| 8 | −1/30 |
| 9 | 0 |
| 10 | 5/66 |
| 11 | 0 |
| 12 | −691/2730 |
| 13 | 0 |
| 14 | 7/6 |
| 15 | 0 |
| 16 | −3617/510 |
| 17 | 0 |
| 18 | 43867/798 |
| 19 | 0 |
| 20 | −174611/330 |
數學上，白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：
B0 = 1, B±
1 = ±1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = −1/30.
上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同：
B−
n 表示第一白努利數 (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 B−
1 = −1/2.
B+
n 表示第二白努利數 (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」[1] ，在這標準下 B+
1 = +1/2.
由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 Bn = 0 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"Bn"來代表 B2n，不過在本文中不會使用如此的簡寫。
目录
1 等冪求和
2 一些等式
3 伯努利數的算術性質
3.1 p進連續性
4 伯努利數的幾何性質
5 參見
6 外部連結
等冪求和
伯努利數Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中m, n ≥ 0：
- Sm(n)=∑k=1nkm=1m+2m+⋯+nm{displaystyle S_{m}(n)=sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+cdots +{n}^{m}}
這數列和的公式必定是變數為n，次數為m +1次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：
- Sm(n)=1m+1∑k=0m(m+1k)Bk+nm+1−k,{displaystyle S_{m}(n)={frac {1}{m+1}}sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}
其中(m + 1
k) 為二項式係數。
舉例說，把m取為1，我們有1+2+...+n=12(B0n2+2B1+n1)=12(n2+n).{displaystyle 1+2+...+n={frac {1}{2}}left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}right)={frac {1}{2}}left(n^{2}+nright).}
伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。
伯努利數可以由下列遞推公式計算：
∑j=0m(m+1j)Bj=0{displaystyle sum _{j=0}^{m}{m+1 choose {j}}B_{j}=0}，
初值條件為B0 = 1。
伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（ex − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪指數的收斂半徑），有
xex−1=∑n=0∞Bnxnn!{displaystyle {frac {x}{e^{x}-1}}=sum _{n=0}^{infty }B_{n}{frac {x^{n}}{n!}}}。
有時會寫成小寫bn，以便與貝爾數分別開。
最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。
可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。
數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。
伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。
在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的演算式。
一些等式
歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：
B2k=2(−1)k+1ζ(2k)(2k)!(2π)2k{displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{frac {zeta (2k);(2k)!}{(2pi )^{2k}}}}。
在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是Bn/n。
伯努利數的算術性質
伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。
伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若cn是Bn/2n的分子，那樣K4n−2(Z){displaystyle K_{4n-2}(mathbb {Z} )}
與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到Bn上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。
吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1模p同餘於−1。
p進連續性
伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及m≡nmodpb−1(p−1){displaystyle mequiv n,{bmod {,}}p^{b-1}(p-1)}
(1−pm−1)Bmm≡(1−pn−1)Bnnmodpb{displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} over m}equiv (1-p^{n-1}){B_{n} over n},{bmod {,}}p^{b}}。
因為Bn=−nζ(1−n){displaystyle B_{n}=-nzeta (1-n)}
(1−p−u)ζ(u)≡(1−p−v)ζ(v)modpb{displaystyle (1-p^{-u})zeta (u)equiv (1-p^{-v})zeta (v),{bmod {,}}p^{b},}，
其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉1−pz{displaystyle 1-p^{z}}
伯努利數的幾何性質
在n≥2{displaystyle ngeq 2}
參見
- 等幂求和
- 黎曼ζ函數
外部連結
- 伯努利數網頁
- 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄
首498個伯努利數取自古登堡計劃
^ A164555.
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