数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域C{displaystyle mathbb {C} }的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

目录

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  1 定义
  


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  2 例子
  
  
  
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    2.1 可构造数
    
  
  
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    2.2 代数数
    
  
  
  
  


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  3 注释
  


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  4 参考来源
  

定义

设P{displaystyle {mathcal {P}}}是复数域C{displaystyle mathbb {C} }的子集。若P{displaystyle {mathcal {P}}}中包含0与1，并且P{displaystyle {mathcal {P}}}中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在P{displaystyle {mathcal {P}}}中，就称P{displaystyle {mathcal {P}}}为一个数域^[1]:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域^[2]:5。

任何数域都包括有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }^[1]:103[2]:5，但并不一定是Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域R{displaystyle mathbb {R} }和复数域C{displaystyle mathbb {C} }都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域R{displaystyle mathbb {R} }和复数域C{displaystyle mathbb {C} }以外^[2]:5，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

a+b2,a,b∈Q{displaystyle a+b{sqrt {2}},;;a,bin mathbb {Q} }

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成a+b2{displaystyle a+b{sqrt {2}}}的形式，故仍然在集合之中^[1]:102。这个集合记作Q(2){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}，是有理数域Q{displaystyle mathbb {Q} }的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为C{displaystyle {mathcal {C}}}，是一个数域^[3]:160-161。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。C{displaystyle {mathcal {C}}}是Q{displaystyle mathbb {Q} }的扩域，次数为无限大，是实数域R{displaystyle mathbb {R} }的子域^[3]:161。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作A{displaystyle {mathcal {A}}}，是一个数域。A{displaystyle {mathcal {A}}}也常被称为代数数域，但与定义为“Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个Q{displaystyle mathbb {Q} }的有限扩张生成的域都可看作是^{[N 1]}Q{displaystyle mathbb {Q} }中加入某个代数数扩成的，所以都是A{displaystyle {mathcal {A}}}的子域。可构造数构成的数域C{displaystyle {mathcal {C}}}也是A{displaystyle {mathcal {A}}}的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以A{displaystyle {mathcal {A}}}不是R{displaystyle mathbb {R} }的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以R{displaystyle mathbb {R} }也不是A{displaystyle {mathcal {A}}}的子域^{[N 2]}。

注释

1. 
   ^ 在同构意义上。
   


2. 
   ^ 事实上A{displaystyle {mathcal {A}}}的元素个数是可数的，所以元素个数不可数的R{displaystyle mathbb {R} }不可能是A{displaystyle {mathcal {A}}}的子域。
   

参考来源

1. 
   ^ ^1.01.11.2 王萼芳. 高等代数教程. 清华大学出版社. 1997. ISBN 9787302024521. 
   


2. 
   ^ ^2.02.12.2 张贤科, 许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社. 2004. ISBN 9787302082279. 
   


3. 
   ^ ^3.03.1 胡冠章, 王殿军. 应用近世代数. 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125662. 
   

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