動量算符

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在量子力學裏，動量算符（英语：momentum operator）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 ψ(x){displaystyle psi (x),!} 的動量算符可以寫為

p^=ℏi∂∂x{displaystyle {hat {p}}={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}},!} ；

其中，p^{displaystyle {hat {p}},!} 是動量算符，ℏ{displaystyle hbar ,!} 是約化普朗克常數，i{displaystyle i,!} 是虛數單位，x{displaystyle x,!} 是位置。

給予一個粒子的波函數 ψ(x){displaystyle psi (x),!} ，這粒子的動量期望值為

⟨p⟩=∫−∞∞ ψ∗(x)p^ψ(x) dx=∫−∞∞ ψ∗(x)ℏi∂∂xψ(x) dx{displaystyle langle prangle =int _{-infty }^{infty } psi ^{*}(x){hat {p}}psi (x) dx=int _{-infty }^{infty } psi ^{*}(x){frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}psi (x) dx,!} ；

其中，p{displaystyle p,!} 是動量。

目录

• 
  1 導引 1
  


• 
  2 導引 2
  


• 
  3 厄米算符
  


• 
  4 本徵值與本徵函數
  


• 
  5 正則對易關係
  


• 
  6 參考文獻
  

導引 1

對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 V(x)=0{displaystyle V(x)=0,!} ，不含時薛丁格方程式表達為

−ℏ22m∂2∂x2 ψ(x)=Eψ(x){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}} psi (x)=Epsi (x),!} 。

其中，ℏ{displaystyle hbar ,!} 是約化普朗克常數，m{displaystyle m,!} 是粒子的質量，ψ(x){displaystyle psi (x),!} 是粒子的波函數，x{displaystyle x,!} 是粒子的位置，E{displaystyle E,!} 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 ψk(x){displaystyle psi _{k}(x),!} 是一個平面波：

ψk(x)=eikx{displaystyle psi _{k}(x)=e^{ikx},!} ；

其中，k{displaystyle k,!} 是波數，k2=2mE/ℏ2{displaystyle k^{2}=2mE/hbar ^{2},!} 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

p=ℏk{displaystyle p=hbar k,!} 。

自由粒子具有明確的動量 p{displaystyle p,!} ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 p^{displaystyle {hat {p}},!} 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 p{displaystyle p,!} ，那麼，不確定性 σp=0{displaystyle sigma _{p}=0,!} ，這自由粒子的量子態是確定態，是 p^{displaystyle {hat {p}},!} 的本徵態，在位置空間(position space)裏，本徵函數為 ψk{displaystyle psi _{k},!} ，本徵值為 p{displaystyle p,!} ：

p^ψk(x)=pψk(x){displaystyle {hat {p}}psi _{k}(x)=ppsi _{k}(x),!} 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 ψk(x){displaystyle psi _{k}(x),!} ^[1]。

為了要達到此目標，勢必要令

p^ψk(x)=ℏi∂∂xψk(x)=ℏi∂∂xeikx=ℏkeikx=pψk(x){displaystyle {hat {p}}psi _{k}(x)={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}psi _{k}(x)={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}e^{ikx}=hbar ke^{ikx}=ppsi _{k}(x),!} 。

所以，可以認定動量算符的形式為

p^=ℏi∂∂x{displaystyle {hat {p}}={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}},!} 。

導引 2

在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

p=mv=mdxdt{displaystyle p=mv=m{frac {dx}{dt}},!} 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現^[2]：

⟨p⟩=mddt⟨x⟩{displaystyle langle prangle =m{frac {d}{dt}}langle xrangle ,!} 。

那麼，用積分方程式來表達，

⟨p⟩=mddt∫−∞∞ Ψ∗(x,t)xΨ(x,t) dx{displaystyle langle prangle =m{frac {d}{dt}}int _{-infty }^{infty } Psi ^{*}(x,,t)xPsi (x,,t) dx,!} ；

其中，Ψ(x,t){displaystyle Psi (x,,t),!} 是波函數。

取微分於積分號下，

⟨p⟩=m∫−∞∞ (∂Ψ∗∂txΨ+Ψ∗∂x∂tΨ+Ψ∗x∂Ψ∂t)dx{displaystyle langle prangle =mint _{-infty }^{infty } left({frac {partial Psi ^{*}}{partial t}}xPsi +Psi ^{*}{frac {partial x}{partial t}}Psi +Psi ^{*}x{frac {partial Psi }{partial t}}right)dx,!} 。

由於 x{displaystyle x,!} 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

⟨p⟩=m∫−∞∞ (∂Ψ∗∂txΨ+Ψ∗x∂Ψ∂t)dx{displaystyle langle prangle =mint _{-infty }^{infty } left({frac {partial Psi ^{*}}{partial t}}xPsi +Psi ^{*}x{frac {partial Psi }{partial t}}right)dx,!} 。(1)

含時薛丁格方程式為

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+VΨ{displaystyle ihbar {frac {partial Psi }{partial t}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}Psi }{partial x^{2}}}+VPsi ,!} ；

其中， V{displaystyle V,!} 是位勢。

其共軛複數為

iℏ∂Ψ∗∂t=ℏ22m∂2Ψ∗∂x2−VΨ∗{displaystyle ihbar {frac {partial Psi ^{*}}{partial t}}={frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}Psi ^{*}}{partial x^{2}}}-VPsi ^{*},!} 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

⟨p⟩=miℏ∫−∞∞ (ℏ22m∂2Ψ∗∂x2xΨ−VΨ∗xΨ−ℏ22mΨ∗x∂2Ψ∂x2+Ψ∗xVΨ)dx=ℏi2∫−∞∞ (∂2Ψ∗∂x2xΨ−Ψ∗x∂2Ψ∂x2)dx{displaystyle {begin{aligned}langle prangle &={frac {m}{ihbar }}int _{-infty }^{infty } left({frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}Psi ^{*}}{partial x^{2}}}xPsi -VPsi ^{*}xPsi -{frac {hbar ^{2}}{2m}}Psi ^{*}x{frac {partial ^{2}Psi }{partial x^{2}}}+Psi ^{*}xVPsi right)dx\&={frac {hbar }{i2}}int _{-infty }^{infty } left({frac {partial ^{2}Psi ^{*}}{partial x^{2}}}xPsi -Psi ^{*}x{frac {partial ^{2}Psi }{partial x^{2}}}right)dx\end{aligned}},!} 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数Ψ{displaystyle Psi ,!}趋于零的特性，有

∫−∞∞ ∂2Ψ∗∂x2xΨ dx=−∫−∞∞ ∂Ψ∗∂xΨ dx−∫−∞∞ ∂Ψ∗∂xx∂Ψ∂x dx{displaystyle int _{-infty }^{infty } {frac {partial ^{2}Psi ^{*}}{partial x^{2}}}xPsi dx=-int _{-infty }^{infty } {frac {partial Psi ^{*}}{partial x}}Psi dx-int _{-infty }^{infty } {frac {partial Psi ^{*}}{partial x}}x{frac {partial Psi }{partial x}} dx,!} ，(2)

∫−∞∞ Ψ∗x∂2Ψ∂x2 dx=−∫−∞∞ Ψ∗∂Ψ∂x dx−∫−∞∞ ∂Ψ∗∂xx∂Ψ∂x dx{displaystyle int _{-infty }^{infty } Psi ^{*}x{frac {partial ^{2}Psi }{partial x^{2}}} dx=-int _{-infty }^{infty } Psi ^{*}{frac {partial Psi }{partial x}} dx-int _{-infty }^{infty } {frac {partial Psi ^{*}}{partial x}}x{frac {partial Psi }{partial x}} dx,!} 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数Ψ{displaystyle Psi ,!}趋于零的特性）

(2)−(3)=∫−∞∞ (−∂Ψ∗∂xΨ+Ψ∗∂Ψ∂x)dx=2∫−∞∞ Ψ∗∂Ψ∂x dx{displaystyle (2)-(3)=int _{-infty }^{infty } left(-{frac {partial Psi ^{*}}{partial x}}Psi +Psi ^{*}{frac {partial Psi }{partial x}}right)dx=2int _{-infty }^{infty } Psi ^{*}{frac {partial Psi }{partial x}} dx,!} 。

所以，

⟨p⟩=∫−∞∞ Ψ∗ℏi∂∂xΨ dx{displaystyle langle prangle =int _{-infty }^{infty } Psi ^{*}{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}Psi dx,!} 。

對於任意波函數 Ψ{displaystyle Psi ,!} ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 p^{displaystyle {hat {p}},!} 為 ℏi∂∂x{displaystyle {frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}},!} 。

厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O{displaystyle O,!} 的期望值是實值的：

⟨O⟩=⟨O⟩∗{displaystyle langle Orangle =langle Orangle ^{*},!} 。

對於任意量子態 |ψ⟩{displaystyle |psi rangle ,!} ，這關係都成立：

⟨ψ|O^|ψ⟩=⟨ψ|O^|ψ⟩∗{displaystyle langle psi |{hat {O}}|psi rangle =langle psi |{hat {O}}|psi rangle ^{*},!} 。

根據伴隨算符的定義，假設 O^†{displaystyle {hat {O}}^{dagger },!} 是 O^{displaystyle {hat {O}},!} 的伴隨算符，則 ⟨ψ|O^|ψ⟩∗=⟨ψ|O^†|ψ⟩{displaystyle langle psi |{hat {O}}|psi rangle ^{*}=langle psi |{hat {O}}^{dagger }|psi rangle ,!} 。因此，

O^=O^†{displaystyle {hat {O}}={hat {O}}^{dagger },!} 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 O^{displaystyle {hat {O}},!} ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 |ψ⟩{displaystyle |psi rangle ,!} 的波函數為 ψ(x){displaystyle psi (x),!} ，

⟨ψ|p^|ψ⟩=∫−∞∞ ψ∗ℏi∂ψ∂x dx=ℏiψ∗ψ|−∞∞−∫−∞∞ (ℏi∂ψ∗∂x)ψ dx=∫−∞∞ ψ(ℏi∂∂xψ)∗ dx=⟨ψ|p^|ψ⟩∗=⟨ψ|p^†|ψ⟩{displaystyle {begin{aligned}langle psi |{hat {p}}|psi rangle &=int _{-infty }^{infty } psi ^{*}{frac {hbar }{i}}{frac {partial psi }{partial x}} dx=left.{frac {hbar }{i}}psi ^{*}psi right|_{-infty }^{infty }-int _{-infty }^{infty } left({frac {hbar }{i}}{frac {partial psi ^{*}}{partial x}}right)psi dx\&=int _{-infty }^{infty } psi left({frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}psi right)^{*} dx=langle psi |{hat {p}}|psi rangle ^{*}=langle psi |{hat {p}}^{dagger }|psi rangle \end{aligned}}} 。

對於任意量子態 |ψ⟩{displaystyle |psi rangle ,!} ，p^=p^†{displaystyle {hat {p}}={hat {p}}^{dagger },!} 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數

假設，動量算符 p^{displaystyle {hat {p}},!} 的本徵值為 p{displaystyle p,!} 的本徵函數是 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} ：

p^fp(x)=ℏi∂fp(x)∂x=pfp(x){displaystyle {hat {p}}f_{p}(x)={frac {hbar }{i}}{frac {partial f_{p}(x)}{partial x}}=pf_{p}(x),!} 。

這方程式的一般解為，

fp(x)=f0eipx/ℏ{displaystyle f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/hbar },!} ；

其中，f0{displaystyle f_{0},!} 是常數。

假設 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} 的定義域是一個有限空間，從 x=−L{displaystyle x=-L,!} 到 x=L{displaystyle x=L,!} ，那麼，可以將 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} 歸一化：

∫−LL fp∗(x)fp(x) dx=|f0|2∫−LL dx=|f0|22L=1{displaystyle int _{-L}^{L} f_{p}^{*}(x)f_{p}(x) dx=|f_{0}|^{2}int _{-L}^{L} dx=|f_{0}|^{2}2L=1,!} 。

f0{displaystyle f_{0},!} 的值是 1/2L{displaystyle 1/{sqrt {2L}},!} 。動量算符的本徵函數歸一化為 fp(x)=12Leipx/ℏ{displaystyle f_{p}(x)={frac {1}{sqrt {2L}}}e^{ipx/hbar },!} 。

假設 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} 的定義域是無窮大空間，則 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} 不是一個平方可積函數：

∫−∞∞ fp∗(x)fp(x) dx=|f0|2∫−∞∞ dx=∞{displaystyle int _{-infty }^{infty } f_{p}^{*}(x)f_{p}(x) dx=|f_{0}|^{2}int _{-infty }^{infty } dx=infty ,!} 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 |fp(x)|2{displaystyle |f_{p}(x)|^{2},!} 於無窮大空間，來使 fp(x){displaystyle f_{p}(x),!} 歸一化。

換另一種方法，設定 f0=1/2πℏ{displaystyle f_{0}=1/{sqrt {2pi hbar }},!} 。那麼，

∫−∞∞ fp1∗(x)fp2(x) dx=12πℏ∫−∞∞e−i(p1−p2)x/ℏ dx=δ(p1−p2){displaystyle int _{-infty }^{infty } f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x) dx={frac {1}{2pi hbar }}int _{-infty }^{infty }e^{-i(p1-p2)x/hbar } dx=delta (p1-p2),!} ；

其中，δ(p1−p2){displaystyle delta (p1-p2),!} 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 ψ(x){displaystyle psi (x),!} 都可以表達為本徵函數的線性組合：

ψ(x)=∫−∞∞c(p)fp(x) dp=12πℏ∫−∞∞c(p)eipx/ℏ dp{displaystyle psi (x)=int _{-infty }^{infty }c(p)f_{p}(x) dp={frac {1}{sqrt {2pi hbar }}}int _{-infty }^{infty }c(p)e^{ipx/hbar } dp,!} ；

其中，係數 c(p){displaystyle c(p),!} 是

c(p)=∫−∞∞fp∗(x)ψ(x) dx=12πℏ∫−∞∞ψ(x)e−ipx/ℏ dx{displaystyle c(p)=int _{-infty }^{infty }f_{p}^{*}(x)psi (x) dx={frac {1}{sqrt {2pi hbar }}}int _{-infty }^{infty }psi (x)e^{-ipx/hbar } dx,!} 。

正則對易關係

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

[x^, p^]ψ=(x^p^−p^x^)ψ=xℏi∂ψ∂x−ℏi∂(xψ)∂x=iℏψ{displaystyle [{hat {x}}, {hat {p}}]psi =({hat {x}}{hat {p}}-{hat {p}}{hat {x}})psi =x{frac {hbar }{i}}{frac {partial psi }{partial x}}-{frac {hbar }{i}}{frac {partial (xpsi )}{partial x}}=ihbar psi ,!} 。

所以，[x^, p^]=iℏ{displaystyle [{hat {x}}, {hat {p}}]=ihbar ,!} 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。x^{displaystyle {hat {x}},!} 與 p^{displaystyle {hat {p}},!} 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，x^{displaystyle {hat {x}},!} 的本徵態與 p^{displaystyle {hat {p}},!} 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

ΔA ΔB≥|⟨[A, B]⟩2i|{displaystyle Delta A Delta Bgeq left|{frac {langle [A, B]rangle }{2i}}right|,!} 。

由於 x{displaystyle x,!} 與 p{displaystyle p,!} 是兩個不相容可觀察量，|⟨[x^, p^]⟩2i|=ℏ/2{displaystyle left|{frac {langle [{hat {x}}, {hat {p}}]rangle }{2i}}right|=hbar /2,!} 。所以，x{displaystyle x,!} 的不確定性與 p{displaystyle p,!} 的不確定性的乘積 Δx Δp{displaystyle Delta x Delta p,!} ，必定大於或等於 ℏ/2{displaystyle hbar /2,!} 。

參考文獻

1. 
   ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


2. 
   ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   

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