勒壤得轉換

xy-圖展示出函數 f(x){displaystyle f(x),!} 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在切點 (x0, f(x0)){displaystyle (x_{0}, f(x_{0})),!} 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 (0, −f∗){displaystyle (0, -f^{*}),!} ；這裏，f∗{displaystyle f^{*},!} 是勒壤得轉換 f∗(p0){displaystyle f^{*}(p_{0}),!} 的值，p0=f˙(x0){displaystyle p_{0}={dot {f}}(x_{0}),!} 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 f˙(x0){displaystyle {dot {f}}(x_{0}),!} 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 (0, −f∗){displaystyle (0, -f^{*}),!} 高，證明 f∗{displaystyle f^{*},!} 確實是極大值。

勒壤得轉換（英语：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬裡·勒壤得（Arien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。 它经常用于经典力学中，从拉格朗日形式导出哈密顿形式；以及在热力学中，推导出热力学势，并求解多个变量的微分方程。

目录

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  1 概述
  


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  2 定義
  
  
  
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    2.1 最大值式定義
    
  
  
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    2.2 反函數式定義
    
  
  
  
  


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  3 數學性質
  
  
  
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    3.1 標度性質
    
  
  
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    3.2 平移性質
    
  
  
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    3.3 反演性質
    
  
  
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    3.4 線形變換性質
    
  
  
  
  


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  4 應用
  
  
  
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    4.1 熱力學
    
  
  
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    4.2 古典力學(哈密頓力學)
    
  
  
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    4.3 正則變換
    
  
  
  
  


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  5 參閱
  


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  6 參考文獻
  

概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 f(x){displaystyle f(x),!} 改用一個新函數 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p),!} 來表示，其變數 p{displaystyle p,!} 是 f(x){displaystyle f(x),!} 的導數，p=dfdx{displaystyle p={frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}},!} 。而 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p),!} 的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說，從(x,f(x)){displaystyle (x,f(x)),!} x 值到 y 值的函數，轉換成(p,f⋆(p)){displaystyle (p,f^{star }(p)),!} f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p),!} 為 f(x){displaystyle f(x),!} 的勒壤得轉換；

用方程式表示

f⋆(p)=pu−f(u)|d[pu−f(u)]du=0{displaystyle f^{star }(p)=pu-f(u)|_{{mathrm {d} [pu-f(u)] over mathrm {d} u}=0},!} 。

此式子表示 f⋆(p)=pu−f(u){displaystyle f^{star }(p)=pu-f(u)} 中的 u 對 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p)} 而言是個參數，且參數 u 會滿足 d[pu−f(u)]du=0{displaystyle {{mathrm {d} [pu-f(u)] over mathrm {d} u}=0},!} 的 u{displaystyle u}。即求算表達式關於變數 u{displaystyle u,!} 的極值。

為方便討論，把討論限定在 f(x){displaystyle f(x)}為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 p=f′(x0){displaystyle p=f'(x_{0})} 也就是斜率不變的狀況下，對每個x0{displaystyle x_{0}}而言，所有與曲線(u,f(u)){displaystyle (u,f(u))}相交且斜率為f′(x0){displaystyle f'(x_{0})}的直線族為 y=f′(x0)(x−u)+f(u){displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u),!}。若令u=x0{displaystyle u=x_{0}}，該直線即是f(x){displaystyle f(x)}在x0{displaystyle x_{0}}的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在u=x0{displaystyle u=x_{0}}的情況下，y=f′(x0)(x−u)+f(u)=f′(x0)x−[f′(x0)u−f(u)]{displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]}值是最小的，也就是說直線方程式中[f′(x0)u−f(u)]{displaystyle [f'(x_{0})u-f(u)]}這部分是最大的，而正好 f⋆(p)=pu−f(u)|d[pu−f(u)]du=0{displaystyle f^{star }(p)=pu-f(u)|_{{mathrm {d} [pu-f(u)] over mathrm {d} u}=0},!}，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 f(x){displaystyle f(x),!} 設定的函數關係可以用 (x, y=f(x)){displaystyle (x, y=f(x)),!} 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義

最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 L(x, p)=px−f(x){displaystyle L(x, p)=px-f(x),!} 關於 x{displaystyle x,!} 的最大值，設定 L(x, p){displaystyle L(x, p),!} 關於 x{displaystyle x,!} 的偏導數為零：

∂∂x(px−f(x))=p−df(x)dx=0{displaystyle {frac {partial }{partial x}}left(px-f(x)right)=p-{mathrm {d} f(x) over mathrm {d} x}=0,!} 。

則

p=df(x)dx{displaystyle p={mathrm {d} f(x) over mathrm {d} x},!} 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 L(x, p){displaystyle L(x, p),!} 的二阶导数是負數：

∂2∂x2(xp−f(x))=−d2f(x)dx2<0{displaystyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{mathrm {d} ^{2}f(x) over mathrm {d} x^{2}}<0,!} ；

用方程式 (1) 來計算函數 f{displaystyle f,!} 的反函數 x=g(p){displaystyle x=g(p),!} 。代入 L(x, p){displaystyle L(x, p),!} 方程式，即可以得到想要的形式：

f⋆(p)=g(p) p−f(g(p)){displaystyle f^{star }(p)=g(p) p-f(g(p)),!} 。

計算 f(x){displaystyle f(x),!} 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

1. 找出导函數 p=dfdx{displaystyle p={frac {df}{dx}},!} ，


2. 計算导函數 p=dfdx{displaystyle p={frac {df}{dx}},!} 的反函數 x=g(p){displaystyle x=g(p),!} ，


3. 代入 F(x){displaystyle F(x),!} 方程式來求得新函數 f⋆(p)=g(p) p−f(g(p)){displaystyle f^{star }(p)=g(p) p-f(g(p)),!} 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p),!} ；其新自變數為 p=dfdx{displaystyle p={df over dx},!} 。

反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 f(x){displaystyle f(x),!} 與 f⋆(p){displaystyle f^{star }(p),!} 的一階導數是互相的反函數；

ddxf(x)=(ddpf∗)−1(x){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)=left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} p}}f^{*}right)^{-1}(x),!} ，

或者，

ddpf∗(p)=(ddxf)−1(p){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} p}}f^{*}(p)=left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}fright)^{-1}(p),!} ，

則 f{displaystyle f,!} 與 f⋆{displaystyle f^{star },!} 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

df(x)dx=p{displaystyle {mathrm {d} f(x) over mathrm {d} x}=p,!} ，

df⋆(p)dp=x{displaystyle {mathrm {d} f^{star }(p) over mathrm {d} p}=x,!} 。

思考下述運算：

ddp(xp−f(x))=x+pdxdp−dfdxdxdp=x=df⋆(p)dp=x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} p}}-{frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} p}}=x={mathrm {d} f^{star }(p) over mathrm {d} p}=x,!} 。

所以，

f⋆(p)=xp−f(x)=g(p) p−f(g(p)){displaystyle f^{star }(p)=xp-f(x)=g(p) p-f(g(p)),!} ；

這裏，x=g(p){displaystyle x=g(p),!} 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

f⋆(p)=f(x)−xp{displaystyle f^{star }(p)=f(x)-xp,!} ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

數學性質

以下討論，函數 f{displaystyle f,!} 的勒壤得轉換皆標記為 f⋆{displaystyle f^{star },!} 。

標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

f(x)=a⋅g(x)→f⋆(p)=a⋅g⋆(pa){displaystyle f(x)=acdot g(x)rightarrow f^{star }(p)=acdot g^{star }left({frac {p}{a}}right),!} ，

f(x)=g(a⋅x)→f⋆(p)=g⋆(pa){displaystyle f(x)=g(acdot x)rightarrow f^{star }(p)=g^{star }left({frac {p}{a}}right),!} ，

由此可知，一個 r{displaystyle r,!} 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 s{displaystyle s,!} 次齊次函數；這裏，

1r+1s=1{displaystyle {frac {1}{r}}+{frac {1}{s}}=1,!} 。

平移性質

f(x)=g(x)+b→f⋆(p)=g⋆(p)−b{displaystyle f(x)=g(x)+brightarrow f^{star }(p)=g^{star }(p)-b,!} ，

f(x)=g(x+y)→f⋆(p)=g⋆(p)−p⋅y{displaystyle f(x)=g(x+y)rightarrow f^{star }(p)=g^{star }(p)-pcdot y,!} 。

反演性質

f(x)=g−1(x)→f⋆(p)=−p⋅g⋆(1p){displaystyle f(x)=g^{-1}(x)rightarrow f^{star }(p)=-pcdot g^{star }left({frac {1}{p}}right),!} 。

線形變換性質

讓 A{displaystyle A,!} 成為一個從 Rn{displaystyle R^{n},!} 到 Rm{displaystyle R^{m},!} 的線形變換。對於任何定義域為 Rn{displaystyle R^{n},!} 的凸函數 f{displaystyle f,!} ，必有

(Af)⋆=f⋆A⋆{displaystyle left(Afright)^{star }=f^{star }A^{star },!} ；

這裏，A⋆{displaystyle A^{star },!} 是 A{displaystyle A,!} 的伴隨算子定義為

⟨Ax,y⋆⟩=⟨x,A⋆y⋆⟩{displaystyle leftlangle Ax,y^{star }rightrangle =leftlangle x,A^{star }y^{star }rightrangle ,!} 。

應用

熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 U{displaystyle U,!} 是外延量（extensive）熵 S{displaystyle S,!} ，體積 V{displaystyle V,!} ，與化學成份（chemical composition）Ni{displaystyle N_{i},!} 的顯函數

U=U(S, V, {Ni}){displaystyle U=U(S, V, {N_{i}}),!} 。

對於 −PV{displaystyle -PV,!} ，函數 U{displaystyle U,!} （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 H{displaystyle H,!} ：

H(S, P, {Ni})=U+PV{displaystyle H(S, P, {N_{i}})=U+PV,!} ，

P=−(∂U∂V)S, {Ni}{displaystyle P=-left({frac {partial U}{partial V}}right)_{S, {N_{i}}},!} 。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 TS{displaystyle TS,!} ，函數 H{displaystyle H,!} 勒壤得轉換為吉布斯能函數 G{displaystyle G,!} :

G(T, P, {Ni})=H−TS{displaystyle G(T, P, {N_{i}})=H-TS,!} ，

T=(∂H∂S)P, {Ni}{displaystyle T=left({frac {partial H}{partial S}}right)_{P, {N_{i}}},!} 。

對於 TS{displaystyle TS,!} ，函數 U{displaystyle U,!} 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 A{displaystyle A,!} :

A(T, V, {Ni})=U−TS{displaystyle A(T, V, {N_{i}})=U-TS,!} ，

T=(∂U∂S)V, {Ni}{displaystyle T=left({frac {partial U}{partial S}}right)_{V, {N_{i}}},!} 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學)

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 L{displaystyle {mathcal {L}},!} 是廣義坐標 q=(q1, q2, …, qN){displaystyle mathbf {q} =(q_{1}, q_{2}, dots , q_{N}),!} 與廣義速度 q˙{displaystyle {dot {mathbf {q} }},!} 的函數；而哈密頓量 H{displaystyle {mathcal {H}},!} 將函數的自變量轉換為廣義坐標 q{displaystyle mathbf {q} ,!} 與廣義動量 p=(p1, p2, …, pN){displaystyle mathbf {p} =(p_{1}, p_{2}, dots , p_{N}),!} ：

p=∂L∂q˙{displaystyle mathbf {p} ={frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q} }}}},!} ，

H(q, p, t)=p⋅q˙−L(q, q˙(q, p, t), t){displaystyle {mathcal {H}}(mathbf {q} , mathbf {p} , t)=mathbf {p} cdot {dot {mathbf {q} }}-{mathcal {L}}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}(mathbf {q} , mathbf {p} , t), t),!} 。

正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，(q, p)→(Q, P){displaystyle (mathbf {q} , mathbf {p} )rightarrow (mathbf {Q} , mathbf {P} ),!,!} ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

∂K∂P=Q˙{displaystyle {frac {partial {mathcal {K}}}{partial mathbf {P} }}={dot {mathbf {Q} }},!,!} ，

∂K∂Q=−P˙{displaystyle {frac {partial {mathcal {K}}}{partial mathbf {Q} }}=-{dot {mathbf {P} }},!,!} ，

p⋅q˙−H=P⋅Q˙−K+dGdt{displaystyle mathbf {p} cdot {dot {mathbf {q} }}-{mathcal {H}}=mathbf {P} cdot {dot {mathbf {Q} }}-{mathcal {K}}+{frac {dG}{dt}},!} ；

這裏，q, p{displaystyle mathbf {q} , mathbf {p} ,!} 是舊正則坐標，Q, P{displaystyle mathbf {Q} , mathbf {P} ,!} 是新正則坐標，H{displaystyle {mathcal {H}},!} 是舊哈密頓量，K{displaystyle {mathcal {K}},!} 是新哈密頓量，G{displaystyle G,!} 是生成函數。

參閱

• 哈密頓力學


• 切觸幾何


• 正則變換

參考文獻

• 
  Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  


• 
  Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4. 
  

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