磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同^[1]。

目录

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  1 概述
  


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  2 單位
  


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  3 兩種磁源
  


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  4 計算磁矩的方程式
  
  
  
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    4.1 平面迴圈
    
  
  
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    4.2 任意迴路
    
  
  
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    4.3 任意電流分佈
    
  
  
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    4.4 基本粒子
    
  
  
  
  


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  5 載流迴路產生的磁場
  


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  6 處於外磁場的磁偶極子
  
  
  
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    6.1 磁偶極子感受到的磁力矩
    
  
  
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    6.2 磁偶極子的勢能
    
  
  
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    6.3 非均勻磁場
    
  
  
  
  


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  7 範例
  
  
  
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    7.1 圓形載流迴圈的磁偶極矩
    
  
  
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    7.2 螺線管的磁矩
    
  
  
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    7.3 載電粒子圓周運動的磁矩
    
  
  
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    7.4 電子的磁矩
    
  
  
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    7.5 原子的磁矩
    
  
  
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    7.6 原子核的磁矩
    
  
  
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    7.7 分子的磁矩
    
    
    
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      7.7.1 分子磁性範例
      
    
    
    
    
  
  
  
  


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  8 參閱
  


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  9 參考文獻
  

概述

一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

μ=Ia{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!}；

其中，μ{displaystyle {boldsymbol {mu }},!}為磁偶極矩，I{displaystyle I,!}為電流，a{displaystyle mathbf {a} ,!}為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

τ=μ×B{displaystyle {boldsymbol {tau }}={boldsymbol {mu }}times mathbf {B} ,!}、

U=−μ⋅B{displaystyle U=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ,!}；

其中，τ{displaystyle {boldsymbol {tau }},!}為力矩，B{displaystyle mathbf {B} ,!}為磁場，U{displaystyle U,!}為勢能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：

μs=−gsμBS/ℏ{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{s}=-g_{s}mu _{B}mathbf {S} /hbar ,!}；

其中，μs{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{s},!}為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子gs{displaystyle g_{s},!}是一項比例常數，μB{displaystyle mu _{B},!}為波耳磁子，S{displaystyle mathbf {S} ,!}為電子的自旋，ℏ{displaystyle hbar ,!}是約化普朗克常數。

單位

採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培·公尺² = 1 焦耳／特斯拉。

CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。

磁偶極矩單位轉換表^[2]
光速　c = 29,979,245,800 ≈ 3·10¹⁰

語言	國際單位制	靜電單位制	電磁單位制	高斯單位制
中文	1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉	= (103c) 靜安培·公分2	= (103) 絕對安培·公分2	= (103) 爾格／高斯
英文	1 A·m2 =1 J/T	= (103c) statA·cm2	= (103) abA·cm2	= (103) erg／Gauss

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

兩種磁源

在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：

• 
  電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。


• 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10⁻²⁴焦耳／特斯拉^[3]。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

• 電子的自旋。


• 電子環繞著質子的軌域運動。


• 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

計算磁矩的方程式

平面迴圈

假設一個平面載流迴圈的面積向量為a{displaystyle mathbf {a} ,!}、所載電流為I{displaystyle I,!}，則其磁偶極矩為μ=Ia{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!}。

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩μ{displaystyle {boldsymbol {mu }},!}是

μ=Ia{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!}；

其中，I{displaystyle I,!}是迴圈所載有的恆定電流，a{displaystyle mathbf {a} ,!}是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持μ=Ia{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!}不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

任意迴路

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流I{displaystyle I,!}，則其磁偶極矩為

μ=I∫Sda{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Iint _{mathbb {S} }mathrm {d} mathbf {a} ,!}；

其中，S{displaystyle mathbb {S} ,!}是積分曲面，C{displaystyle mathbb {C} ,!}是S{displaystyle mathbb {S} ,!}邊緣的閉合迴路，da{displaystyle mathrm {d} mathbf {a} ,!}是微小面積元素，dℓ{displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!}是微小線元素，r{displaystyle mathbf {r} ,!}是dℓ{displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!}的位置。

引用向量恆等式

∫Sda=12∮C⁡r×dℓ{displaystyle int _{mathbb {S} }mathrm {d} mathbf {a} ={frac {1}{2}}oint _{mathbb {C} }mathbf {r} times mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!}，

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

μ=I2∮C⁡r×dℓ{displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {I}{2}}oint _{mathbb {C} }mathbf {r} times mathrm {d} {boldsymbol {ell }},!}。

任意電流分佈

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

μ=12∫Vr×J dV{displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {1}{2}}int _{mathbb {V} }mathbf {r} times mathbf {J} mathrm {d} V,!}；

其中，V{displaystyle mathbb {V} ,!}是積分體積，r{displaystyle mathbf {r} ,!}是源電流位置，J{displaystyle mathbf {J} ,!}是電流密度，dV{displaystyle mathrm {d} V,!}是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

基本粒子

在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為μ{displaystyle mu ,!}，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

一些基本粒子的內稟磁矩和自旋^[4]

粒子	內稟磁矩（10−27焦耳／特斯拉）	自旋量子數
電子	-9284.764	1/2
質子	+14.106067	1/2
中子	-9.66236	1/2
緲子	-44.904478	1/2
重氫	+4.3307346	1
氫-3	+15.046094	1/2

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

載流迴路產生的磁場

磁偶極子的磁場線。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。

載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流I{displaystyle I,!}的任意局域迴路C{displaystyle mathbb {C} ,!}，其磁矢勢A{displaystyle mathbf {A} ,!}為

A(r)=μ0I4π∮C′⁡ dℓ′|r−r′|{displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} )={frac {mu _{0}I}{4pi }}oint _{mathbb {C} '} {frac {mathrm {d} {boldsymbol {ell }},'}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},!}；

其中，r{displaystyle mathbf {r} ,!}是檢驗位置，r′{displaystyle mathbf {r} ',!}是源頭位置，是微小線元素dℓ′{displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }},',!}的位置，μ0{displaystyle mu _{0},!}是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠，r>r′{displaystyle r>r',!}，則表達式1|r−r′|{displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},!}可以泰勒展開為

1|r−r′|=1r∑n=0∞ (r′r)nPn(cos⁡θ′){displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}={frac {1}{r}}sum _{n=0}^{infty } left({frac {r'}{r}}right)^{n}P_{n}(cos theta '),!}；

其中，Pn(cos⁡θ′){displaystyle P_{n}(cos theta '),!}是勒讓德多項式，θ′{displaystyle theta ',!}是r{displaystyle mathbf {r} ,!}與r′{displaystyle mathbf {r} ',!}之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為

A(r)=μ0I4π∑n=0∞ 1rn+1∮C′⁡ (r′)nPn(cos⁡θ′)dℓ′{displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} )={frac {mu _{0}I}{4pi }}sum _{n=0}^{infty } {frac {1}{r^{n+1}}}oint _{mathbb {C} '} (r')^{n}P_{n}(cos theta ')mathrm {d} {boldsymbol {ell }},',!}。

思考n=0{displaystyle n=0,!}項目，也就是磁單極子項目：

A0(r)=μ0I4πr∮C′⁡ dℓ′=0{displaystyle mathbf {A} _{0}(mathbf {r} )={frac {mu _{0}I}{4pi r}}oint _{mathbb {C} '} mathrm {d} {boldsymbol {ell }},'=0,!}。

由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考n=1{displaystyle n=1,!}項目，也就是磁偶極子項目：

A1(r)=μ0I4πr2 ∮C′⁡ r′cos⁡θ′dℓ′=μ0I4πr2 (−r^×∮S′⁡da′){displaystyle mathbf {A} _{1}(mathbf {r} )={frac {mu _{0}I}{4pi r^{2}}} oint _{mathbb {C} '} r'cos theta 'mathrm {d} {boldsymbol {ell }},'={frac {mu _{0}I}{4pi r^{2}}} (-{hat {mathbf {r} }}times oint _{mathbb {S} '}mathrm {d} mathbf {a} '),!}。

注意到磁偶極矩為μ=I∮S′⁡da′{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Ioint _{mathbb {S} '}mathrm {d} mathbf {a} ',!}，偶極磁矢勢可以寫為

A1(r)=μ04π μ×r^r2{displaystyle mathbf {A} _{1}(mathbf {r} )={frac {mu _{0}}{4pi }} {frac {{boldsymbol {mu }}times {hat {mathbf {r} }}}{r^{2}}},!}。

偶極磁場B1{displaystyle mathbf {B} _{1},!}為

B1(r)=∇×A1(r){displaystyle mathbf {B} _{1}(mathbf {r} )=nabla times mathbf {A} _{1}(mathbf {r} ),!}。

由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點O{displaystyle mathbf {O} }），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

B1(r)=μ04πr3[3(μ⋅r^)r^−μ]+2μ03μδ3(r){displaystyle mathbf {B} _{1}(mathbf {r} )={frac {mu _{0}}{4pi r^{3}}}left[3({boldsymbol {mu }}cdot {hat {mathbf {r} }}){hat {mathbf {r} }}-{boldsymbol {mu }}right]+{frac {2mu _{0}}{3}}{boldsymbol {mu }}delta ^{3}(mathbf {r} ),!}；

其中，δ3(r){displaystyle delta ^{3}(mathbf {r} ),!}是狄拉克δ函數。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）^[5]。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

處於外磁場的磁偶極子

磁偶極子感受到的磁力矩

處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。

如圖右，假設載有電流I{displaystyle I,!}的一個方形迴圈處於外磁場B=B0z^{displaystyle mathbf {B} =B_{0}{hat {mathbf {z} }},!}。方形迴圈四個邊的邊長為w{displaystyle w,!}，其中兩個與y^{displaystyle {hat {mathbf {y} }},!}平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為−θ+π/2{displaystyle -theta +pi /2,!}。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

τ=(IwB0wsin⁡θ2+IwB0wsin⁡θ2)y^=Iw2B0sin⁡θy^{displaystyle {boldsymbol {tau }}=left(IwB_{0}{frac {wsin {theta }}{2}}+IwB_{0}{frac {wsin {theta }}{2}}right){hat {mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}sin {theta }{hat {mathbf {y} }},!}。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 μ=Iw2μ^{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Iw^{2}{hat {boldsymbol {mu }}},!}。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

τ=μ×B{displaystyle {boldsymbol {tau }}={boldsymbol {mu }}times mathbf {B} ,!}。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持μ=Ia{displaystyle {boldsymbol {mu }}=Imathbf {a} ,!}不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值μB0{displaystyle mu B_{0},!}；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

磁偶極子的勢能

將載流迴圈從角弧θ1{displaystyle theta _{1},!}扭轉到角弧θ2{displaystyle theta _{2},!}，磁場所做的機械功W{displaystyle W,!}為

W=−∫θ1θ2τ dθ=−∫θ1θ2μB0sin⁡θ dθ=μB0(cos⁡θ2−cos⁡θ1){displaystyle W=-int _{theta _{1}}^{theta _{2}}tau dtheta =-int _{theta _{1}}^{theta _{2}}mu B_{0}sin {theta } dtheta =mu B_{0}(cos {theta _{2}}-cos {theta _{1}}),!}。

注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而θ{displaystyle theta ,!}是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定θ1=π/2{displaystyle theta _{1}=pi /2,!}，則

W=μB0cos⁡θ2=μ⋅B{displaystyle W=mu B_{0}cos {theta _{2}}={boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ,!}。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧π/2{displaystyle pi /2,!}扭轉到角弧θ2{displaystyle theta _{2},!}，所做的機械功Wa{displaystyle W_{a},!}為

Wa=−W=−μ⋅B{displaystyle W_{a}=-W=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ,!}。

定義載流迴圈的勢能U{displaystyle U,!}等於這機械功Wa{displaystyle W_{a},!}，以方程式表示為

U=−μ⋅B{displaystyle U=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ,!}。

與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值−μB0{displaystyle -mu B_{0},!}；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值μB0{displaystyle mu B_{0},!}。

非均勻磁場

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路C′{displaystyle mathbb {C} ',!}的磁場力等於零：

F=I∮C′⁡dℓ′×B=0{displaystyle mathbf {F} =Ioint _{mathbb {C} '}mathrm {d} {boldsymbol {ell }}'times mathbf {B} =0,!}。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同^[6]。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

Fℓ=∇(μ⋅B){displaystyle mathbf {F} _{ell }=nabla ({boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ),!}。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

Fd=(μ⋅∇)B{displaystyle mathbf {F} _{d}=({boldsymbol {mu }}cdot nabla )mathbf {B} ,!}。

兩者之間的差別為

Fl=Fd+μ×(∇×B){displaystyle mathbf {F} _{l}=mathbf {F} _{d}+{boldsymbol {mu }}times left(nabla times mathbf {B} right),!}。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式，

∇×B=0{displaystyle nabla times mathbf {B} =0,!}，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合^[6]。

範例

圓形載流迴圈的磁偶極矩

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑r′{displaystyle r',!}為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

μ=πr′2I=π×0.052×1≈0.008[A⋅m2]=0.008[J/T]{displaystyle mu =pi r',^{2}I=pi times 0.05^{2}times 1approx 0.008;[mathrm {A} cdot mathrm {m} ^{2}]=0.008;[mathrm {J/T} ],!}。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

• 假設場位置的距離r{displaystyle r,!}超遠於迴圈半徑r′=0.05 m{displaystyle r'=0.05 mathrm {m} ,!}，則磁場會呈反立方減弱：

沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置r{displaystyle mathbf {r} ,!}平行：

B=μ04πr32μ=4π×10−74πr3×2×0.008≈1.6×10−9r3[T⋅m3]{displaystyle B={frac {mu _{0}}{4pi r^{3}}}2mu ={frac {4pi times 10^{-7}}{4pi r^{3}}}times 2times 0.008approx {frac {1.6times 10^{-9}}{r^{3}}};[mathrm {T} cdot mathrm {m} ^{3}],!}。

在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

B=−μ04πr3μ=− 4π×10−74πr3×0.008≈− 0.8×10−9r3[T⋅m3]{displaystyle B=-{frac {mu _{0}}{4pi r^{3}}}mu =- {frac {4pi times 10^{-7}}{4pi r^{3}}}times 0.008approx - {frac {0.8times 10^{-9}}{r^{3}}};[mathrm {T} cdot mathrm {m} ^{3}],!}。

負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。

• 假設在地球的某地方，地磁場BE{displaystyle mathbf {B} _{E},!}的數值大約為0.5 高斯（5×10⁻⁵特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場BE{displaystyle mathbf {B} _{E},!}，則此迴圈所感受到的力矩為

τ≈0.008×5×10−5=4×10−7 [N⋅m]{displaystyle tau approx 0.008times 5times 10^{-5}=4times 10^{-7} [mathrm {N} cdot mathrm {m} ],!}。

• 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場BE{displaystyle mathbf {B} _{E},!}，旋轉至磁針的磁矩與地磁場BE{displaystyle mathbf {B} _{E},!}呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量U{displaystyle U,!}為

U≈0.008×5×10−5=4×10−7 [J]{displaystyle Uapprox 0.008times 5times 10^{-5}=4times 10^{-7} [mathrm {J} ],!} 。

由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

螺線管的磁矩

螺線管三維電腦繪圖。

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為N{displaystyle N,!}，每一匝線圈面積為a{displaystyle a,!}，通過電流為I{displaystyle I,!}，則其磁矩為

μ=NIa{displaystyle mu =NIa,!}。

載電粒子圓周運動的磁矩

假設，一個點電荷q{displaystyle q,!}以等速v{displaystyle v,!}繞著z-軸，移動於半徑為r{displaystyle r,!}的平面圓形路徑，則其電流為^[7]

I=qv2πr{displaystyle I={frac {qv}{2pi r}},!}。

其磁矩為

μ=qv2πrπr2=qvr2z^{displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {qv}{2pi r}}pi r^{2}={frac {qvr}{2}}{hat {mathbf {z} }},!}。

其角動量J{displaystyle mathbf {J} ,!}為

J=mvrz^{displaystyle mathbf {J} =mvr{hat {mathbf {z} }},!}。

其中，m{displaystyle m,!}是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為

μ=q2mJ{displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {q}{2m}}mathbf {J} ,!}。

對於電子，這經典關係為

μ=− e2meJ{displaystyle {boldsymbol {mu }}=- {frac {e}{2m_{e}}}mathbf {J} ,!}；

其中，me{displaystyle m_{e},!}是電子的質量，e{displaystyle e,!}是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

14πϵ0 e2r2=mev2r{displaystyle {frac {1}{4pi epsilon _{0}}} {frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{frac {v^{2}}{r}},!}；

其中，ϵ0{displaystyle epsilon _{0},!}是電常數。

現在施加外磁場B=Bz^{displaystyle mathbf {B} =B{hat {mathbf {z} }},!}於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為vB{displaystyle v_{B},!}，則

14πϵ0 e2r2+evBB=mevB2r{displaystyle {frac {1}{4pi epsilon _{0}}} {frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{frac {v_{B}^{2}}{r}},!}。

所以，

vB2−v2=(vB+v)(vB−v)=evBBrme{displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={frac {ev_{B}Br}{m_{e}}},!}。

假設，兩個速度的差別Δv=vB−v{displaystyle Delta v=v_{B}-v,!}超小，則

Δv≈eBr2me{displaystyle Delta vapprox {frac {eBr}{2m_{e}}},!}。

所以，由於施加外磁場B{displaystyle mathbf {B} ,!}，磁矩的變化為

Δμ=−eΔvr2z^=−e2r24meBz^{displaystyle Delta {boldsymbol {mu }}=-{frac {eDelta vr}{2}}{hat {mathbf {z} }}=-{frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{hat {mathbf {z} }},!}。

注意到Δμ{displaystyle Delta {boldsymbol {mu }},!}與B{displaystyle mathbf {B} ,!}呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法^[8]，可以求出磁矩的變化為

Δμ=− e2Δv⟨r2⟩4meBz^{displaystyle Delta {boldsymbol {mu }}=- {frac {e^{2}Delta vlangle r^{2}rangle }{4m_{e}}}B{hat {mathbf {z} }},!}；

其中，⟨r2⟩{displaystyle langle r^{2}rangle ,!}是半徑平方的期望值。

電子的磁矩

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

μ=−geμBS/ℏ{displaystyle {boldsymbol {mu }}=-g_{e}mu _{B}mathbf {S} /hbar ,!}；

其中，ge{displaystyle g_{e},!}是電子的朗德g因子，μB=eℏ/2me{displaystyle mu _{B}=ehbar /2m_{e},!}是波耳磁子，S{displaystyle mathbf {S} ,!}是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，ge=1{displaystyle g_{e}=1,!}；但是，在狄拉克力學裏，ge=2{displaystyle g_{e}=2,!}；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，gS=2.00231930436{displaystyle g_{S}=2.002,319,304,36,!}。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

原子的磁矩

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩μ{displaystyle mu ,!}與總角動量J{displaystyle mathbf {J} ,!}的關係為^[9]

μ=−gJμBJ/ℏ{displaystyle {boldsymbol {mu }}=-g_{J}mu _{B}mathbf {J} /hbar ,!}；

其中，gJ{displaystyle g_{J},!}是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量μz{displaystyle mu _{z},!}是

μz=−gJμBJz/ℏ{displaystyle mu _{z}=-g_{J}mu _{B}J_{z}/hbar ,!}；

其中，Jz=Jmℏ{displaystyle J_{z}=J_{m}hbar ,!}是總角動量對於磁場方向的分量，Jm{displaystyle J_{m},!}是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以μz{displaystyle mu _{z},!}是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

1γdμdt=μ×H{displaystyle {frac {1}{gamma }}{frac {d{boldsymbol {mu }}}{dt}}={boldsymbol {mu }}times mathbf {H} ,!}；

其中，γ{displaystyle gamma ,!}是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ，H{displaystyle mathbf {H} ,!}是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

H=Heff−λγμdμdt{displaystyle mathbf {H} =mathbf {H} _{eff}-{frac {lambda }{gamma mu }}{frac {d{boldsymbol {mu }}}{dt}},!}；

其中，Heff{displaystyle mathbf {H} _{eff},!}是有效磁場（外磁場加上任何自身場），λ{displaystyle lambda ,!}是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）^[10]：

1γdμdt=μ×Heff−λγμμ×dμdt{displaystyle {frac {1}{gamma }}{frac {d{boldsymbol {mu }}}{dt}}={boldsymbol {mu }}times mathbf {H} _{eff}-{frac {lambda }{gamma mu }}{boldsymbol {mu }}times {frac {d{boldsymbol {mu }}}{dt}},!}。

方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

原子核的磁矩

参见：核磁矩

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

分子的磁矩

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

• 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）


• 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）


• 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

分子磁性範例

• 
  氧分子，O₂，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。


• 
  二氧化碳分子，CO₂，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像¹³C或¹⁷O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。


• 
  氫分子，H₂，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。

參閱

• 電偶極矩


• 磁化強度


• 磁化率


• 球多極矩


• 絕熱不變數


• 
  磁偶極間交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）

參考文獻

1. 
   ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


2. 
   ^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2^nd, Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


3. 
   ^ 美國國家標準與技術研究院（NIST）的實驗値：電子磁矩
   


4. 
   ^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants網頁：
   


5. 
   ^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF), American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


6. 
   ^ ^6.06.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF), American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501  引文格式1维护：冗余文本 (link)^{[永久失效連結]}
   


7. 
   ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


8. 
   ^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF), American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35  引文格式1维护：冗余文本 (link)^{[永久失效連結]}
   


9. 
   ^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


10. 
    ^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128, Wiley: pp. 208 ff, 2004, ISBN 0471445282  引文格式1维护：冗余文本 (link)
    

查 论 编 电磁学 靜電學 電荷 電場 導體 絕緣體 摩擦起電效應 静电放电 静电感应 库仑定律 高斯定律 电通量 电势能 电偶极矩 電極化 電位移 靜磁學 安培定律 磁場 磁化强度 磁通量 毕奥-萨伐尔定律 磁矩 高斯磁定律 磁矢勢 电动力学 洛伦兹力 電磁感應 法拉第电磁感应定律 楞次定律 位移電流 馬克士威方程組 电磁场 电磁波 馬克士威應力張量 坡印廷向量 黎納-維謝勢 傑斐緬柯方程式 渦電流 倫敦方程 推遲勢 自由空間 电路 电流 電勢 電壓 电阻 欧姆定律 串聯電路 並聯電路 直流電 交流電 带电流 中性流 電動勢 電容 电感 阻抗 电导 波导 憶阻器 基爾霍夫電路定律 協變表述 電磁張量 四維電流密度 電磁應力-能量張量 四維勢 发展史 庫侖 安培 高斯 奧斯特 亨利 法拉第 馬克士威 黑維塞 韋伯 特斯拉 勞侖茲 赫茲 伏打

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