数学原理

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✸54.43: "从这个命题将遵循,算术加法被定义时,1 + 1 = 2。“卷I,第1版,379页379页(第二版362页,362页的删节版)。(证据实际上是在卷II,完成第1版,86页86页,配以注释完成的,“上面的命题是偶尔会有用的

缩短的标题页* 56版的数学原理

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我记得伯特兰·罗素告诉我一个可怕的梦。大约公元2100年，他在大学图书馆的顶楼。图书馆助理将在货架上带着一个巨大的桶,取下书籍,看着他们,让他们恢复货架或倾销到桶里。最后他来到他能识别的三大卷数学原理。他取下一个卷,翻了几页,似乎困惑一会儿，,收卷,在他的手上平放着,犹豫了一下....

Hardy, G. H. 《一个数学家的辩白》. 北京: 北京大学出版社. 2004: 83 [1940]. ISBN 978-0-521-42706-7. 

《数学原理》（英语：Principia Mathematica）是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍，书籍共分三卷，分别出版于1910年，1912年，1913年。

它通常缩写為PM (Principia Mathematica)，企图表述所有数学真理在一组数理逻辑內的公理和推理规则下，原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目對於数学史和哲学史都是非常重要的，^[1]然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明對於数学原理或其他任何類似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到; 也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则來建立的数学系統，若非不一致，便是不完備 (即存在一些数学真理不能由此系統推导出來)。

数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作,但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合來试图避免这个问题,它以不同“类型”的集合來取代一般的集合,一组特定类型的集合只能包含套較低的类型。然而在当代数学,會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系,來避免如罗素的笨拙方式,。

现代图书馆它排在二十世纪英文非小说书籍中的第23名。^[2]

目录

• 
  1 基本范围
  


• 
  2 理论基础
  
  
  
  • 
    2.1 正式的理论的当代建构
    
  
  
  • 
    2.2 构成
    
  
  
  
  


• 
  3 版本差异
  


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  4 参考注释
  


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  5 参考资料
  


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  6 參見
  


• 
  7 外部链接
  

基本范围

该原理仅覆盖集理论，基数，序数和实数。从现实分析，更深层次的定理并没有包括在内。
几何的基础第四卷已在筹划，但作者的第三卷完成后智力枯竭。

理论基础

由于在理论上由库尔特·哥德尔（下同）的批评指出，不同于形式主义理论，PM的“logicistic”理论有没有“形式主义的语法明确说明”。另一种看法是，在理论上，（在模型论的意义上）解释的真值的符号的行为来表述“⊢”（真理断言），“〜”（逻辑非）和“V”（逻辑或）。

真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命题”的概念。原料（纯）形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚，符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来，通过“价值”的分配，模式将指定什么公式说的解释。因此，在正式的克莱尼符号下方设置，“解释”什么样的符号通常是指，并暗示他们如何最终被采用，在括号内，例如，“¬（不）”。但是，这是不是一个纯粹的形式主义理论。

正式的理论的当代建构

下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下：

使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或）“，¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“'”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。
符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”.^[3]
形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义^[4]这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。^[5]
变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。
推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。
当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”：
A，A⊃乙│乙
符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那么B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。

构成

PM理论既有相似之处显著，以及类似的差异，当代形式理论。克林指出，“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信，或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”^[6]事实上，PM理论不像形式主义理论，即操纵符号根据语法规则，PM引入了“真值”的概念，即在现实世界意义的真理和谬误，以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

版本差异

卷I有五个新增：

• 附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线
  


• 附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性的公理
  


• 附录C、8页讨论命题函数
  


• 8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。


• 1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。

参考注释

1. 
   ^ Irvine, Andrew D. Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. 1 May 2003 [5 August 2009]. 
   


2. 
   ^ The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century. The New York Times Company. 30 April 1999 [5 August 2009]. 
   


3. 
   ^ Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
   


4. 
   ^ Enderton 2001:16
   


5. 
   ^ This is the word used by Kleene 1952:78
   


6. 
   ^ Quote from Kleene 1952:45. See discussion LOGICISM at pages 43–46.
   

参考资料

主要的:

• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1910, JFM 41.0083.02 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1912, JFM 43.0093.03 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1913, JFM 44.0068.01 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1925, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02 
  


• 
  Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica to *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, 1997 [1962], ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042 
  

The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.

次要的:

• 
  Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
  
  • 
    Stephen Cole Kleene; Michael Beeson. Introduction to Metamathematics Paperback. Ishi Press. March 2009. ISBN 978-0-923891-57-2. 
    
  
  


• 
  Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).


• 
  Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:

Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).

• 
  Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)


• 
  Michel Weber and Will Desmond (eds.). Handbook of Whiteheadian Process Thought, Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.

參見

• 各種數學敘述

外部链接

• 
  
  • 
    Principia Mathematica—by A. D. Irvine.
  
  
  • 
    The Notation in Principia Mathematica—by Bernard Linsky.
  
  


• 
  Proposition ✸54.43 in a more modern notation (Metamath)

查 论 编 逻辑   概要 学术领域 辩论法 价值论 审辩式思维 可计算性理论 形式语义学 逻辑史 非形式逻辑 计算器逻辑 数理逻辑 数学 元逻辑 元数学 模型论 哲学逻辑 哲学 逻辑哲学 数学哲学 证明论 集合论 基础概念 溯因推理 分析真理 二律背反 先验 演绎推理 定义 描述 蕰涵 归纳推理 推论 逻辑结论 逻辑形式 逻辑蕰涵 逻辑真理 名称 充分条件 意义 悖论 可能世界 假定 机率 理智 推理 指涉 语义学 语句 严格条件 交换区 语法学 真理 真值 有效性   哲学逻辑 审辩式思维 和非形式逻辑 分析 歧义性 论证 信仰 偏见 公信力 证据 解释 解释力 事实 谬论 探究 意见 奥卡姆剃刀 前提 政治宣传 审慎 推理 关联 修辞学 严格 含糊 演绎理论 结构主义 双面真理说 虚构主义 有限主义 形式主义 直觉主义 逻辑原子论 逻辑主义 唯名论 柏拉图唯实论 实用主义 唯实论   元逻辑和元数学 康托尔定理 可判定性 邱奇-图灵论题 兼容性 有效方法 数学基础 哥德尔完备性定理 哥德尔不完备定理 可靠性 完备性 可判定性 解释 勒文海姆–斯科伦定理 元定理 可满足性 独立性 类型-记号区别 使用-提及区别   数理逻辑 一般 形式语言 形成规则 形式系统 演绎系统 形式证明 形式语义学 合式公式 集合 元素 类 经典逻辑 公理 自然演绎 推理规则 关系 定理 逻辑结论 公理系统 类型论 符号 语法学 定律 传统逻辑 命题 推论 论证 有效性 说服力 直言三段论 对立四边形 文氏图 命题逻辑 和逻辑代数 布尔函数 命题逻辑 命题公式 逻辑联结词 真值表 谓词逻辑 一阶逻辑 量化 谓词 二阶逻辑 一元谓词演算 集合论 集合 空集 枚举法 外延性 有限集合 函数 子集 幂集 可数集 递归集合 定义域 值域 有序对 不可数集 模型论 模型 解释 非标准模型 有限模型论 真值 有效性 证明论 形式证明 演绎系统 形式系统 定理 逻辑结论 推理规则 语法学 可计算性理论 递归 递归集合 递归可枚举集合 决定性问题 邱奇-图灵论题 可计算函数 原始递归函数   非传统逻辑 模态逻辑 真性逻辑 价值逻辑 道义逻辑 信念逻辑 认识逻辑 时间逻辑 直觉主义 直觉主义逻辑 结构分析 海廷算术 直觉类型论 结构集合论 模糊逻辑 真实度 模糊规则 模糊集 模糊有限元素 模糊集合运算 亚结构逻辑 结构规则 相干逻辑 线性逻辑 次协调逻辑 双面真理说 描述逻辑 本体论 本体语言   逻辑学家 安德逊 亚里斯多德 鲁世德 西那 贝恩 巴威斯 博内斯 布尔 布勒斯 康托尔 卡尔纳普 邱奇 克吕西波 加里 德摩根 弗雷格 吉奇 根岑 哥德尔 希尔伯特 克莱尼 克里普克 莱布尼兹 勒文海姆 皮亚诺 皮尔士 普特南 奎因 罗素 施罗德 司各脱 斯科伦 史慕扬 塔斯基 图灵 怀特黑德 奥卡姆的威廉 维根斯坦 策梅洛   列表 主题 逻辑概要 数理逻辑 布尔代数 集合论 其它 逻辑学家 推理规则 悖论 谬论 逻辑符号   常见逻辑符号 &    ∨    ¬    ~    →    ⊃    ≡    |    ∀    ∃    ⊤    ⊥    ⊢    ⊨    ∴    ∵ 分类

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 相关（英语：Axiom of dependent choice） 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理（英语：Martin's axiom） 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 冪集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 對角論證法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可數集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可數集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 数学原理 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel） 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 盧菲特·澤德 保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech） 威拉德·蒯因

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