里奇流

不同时期的里奇流的2D流形.

在微分几何中，“里奇流”（Ricci flow）是一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，Ricci曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是Hamilton-Ricci流方程，是一个拟线性抛物型方程组。

里奇流以義大利數學家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci Curbastro）的名字命名，由美國數學家理查德·哈密顿（Richard Hamilton）于1981年首次引入，也称里奇-哈密顿流。这个工具同时被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷尔曼（Григорий Яковлевич Перельман）用于解决庞加莱猜想^[1]。同样的，西蒙·布伦德（英语：Simon Brendle）和理查德·肖恩（英语：Richard Schoen）正是使用它，微分球面定理（differentiable sphere theorem）使得完成证明。

数学定义

给定黎曼流形上一个度规张量gij,{displaystyle g_{ij},}可以计算出里奇张量Rij,{displaystyle R_{ij},} 則这个度规张量（以及里奇张量）是一族与时间 t 有关的函数（儘管不一定是真实的物理相关的时间），然后里奇流的定义由以下几何演变方程（geometric evolution equation）給出^[2]：

∂tgij=−2Rij.{displaystyle partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.}

正规化的里奇流需要结合紧空间流形给出方程：

∂tgij=−2Rij+2nRavggij.{displaystyle partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{frac {2}{n}}R_{mathrm {avg} }g_{ij}.}

这里的 Ravg{displaystyle R_{mathrm {avg} }} 是关于标量曲率（為里奇張量的跡）的平均值，n{displaystyle n}是流形的維數，这个正规化方程保持度量的體積不變。

实际上，这个-2 因数意义不大，因為可以常數乘 t 而使 -2 改寫成任意的非零實數。

参考文献

1. 
   ^ Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. November 11, 2002. arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
   


2. 
   ^ Friedan, D. Nonlinear models in 2+ε dimensions. PRL. 1980, 45 (13): 1057. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057. 
   

规范控制 GND: 7531847-7

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