Mixing
半双线性形式
在数学中，在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C，它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性（半线性）的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。
一个主要例子是在复数向量空间上的内积，它不是双线性的而是半双线性的。
目录
1 定义和習慣
2 几何动机
3 埃尔米特形式
4 斜-埃尔米特形式
定义和習慣
对哪个参数应当是线性的有不同的習慣。這裡采用第一个是半線性（共轭线性）而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用這習慣，這習慣起源于狄拉克在量子力学中使用的狄拉克符号。數學家則可能使用相反的習慣。
指定映射φ : V × V → C是半双线性的，如果
- ϕ(x+y,z+w)=ϕ(x,z)+ϕ(x,w)+ϕ(y,z)+ϕ(y,w)ϕ(ax,by)=a¯bϕ(x,y){displaystyle {begin{aligned}&phi (x+y,z+w)=phi (x,z)+phi (x,w)+phi (y,z)+phi (y,w)\&phi (ax,by)={bar {a}}b,phi (x,y)end{aligned}}}
对于所有x,y,z,w ∈ V和所有a, b ∈ C。
半双线性形式可以被看作双线性形式
- V¯×V→C{displaystyle {bar {V}}times Vto mathbb {C} }
这里的V¯{displaystyle {bar {V}}}
- V¯⊗V→C.{displaystyle {bar {V}}otimes Vto mathbb {C} .}
对于V中固定的z，映射w↦ϕ(z,w){displaystyle wmapsto phi (z,w)}
给定V上任何半双线性形式φ，我们可以通过共轭转置定义第二个半双线性形式ψ：
- ψ(w,z)=ϕ(z,w)¯{displaystyle psi (w,z)={overline {phi (z,w)}}}
一般而言，ψ和φ是不同的。如果它们相等，则φ被称为Hermitian形式。如果它们相互为负值，则φ被称为斜-Hermitian形式。所有半双线性形式可以写为一个Hermitian形式和一个斜-Hermitian形式的和。
几何动机
双线性形式一般化了平方（z2{displaystyle z^{2},}
关联于半双线性形式的范数在乘以复数圆（单位范数的复数）的乘法下是不变的，而关联于双线性形式的范数是（关于平方）等变的。双线性形式在代数上更加自然，而半双线性在几何上更加自然。
如果B是在复数向量空间上的双线性形式而
|x|B:=B(x,x){displaystyle |x|_{B}:=B(x,x),}
|ix|B=B(ix,ix)=i2B(x,x)=−|x|B{displaystyle |ix|_{B}=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x|_{B},}
相反的，如果S是在复数向量空间上的半双线性形式而
|x|S:=S(x,x){displaystyle |x|_{S}:=S(x,x),}
|ix|S=S(ix,ix)=i¯iS(x,x)=|x|S{displaystyle |ix|_{S}=S(ix,ix)={bar {i}}iS(x,x)=|x|_{S},}
埃尔米特形式
- 这个术语还称呼在埃尔米特流形上的特定微分形式。
埃尔米特形式（也叫做对称半双线性形式）是半双线性形式h : V × V → C，有着
- h(w,z)=h(z,w)¯{displaystyle h(w,z)={overline {h(z,w)}}}
在Cn上的标准埃尔米特形式为
- ⟨w,z⟩=∑i=1nw¯izi.{displaystyle langle w,zrangle =sum _{i=1}^{n}{overline {w}}_{i}z_{i}.}
更一般的说，在任何希尔伯特空间上的内积都是埃尔米特形式。
如果V是有限维的空间，则相对于V的任何基{ei}，埃尔米特形式可表示为埃尔米特矩阵H：
- h(w,z)=w¯THz{displaystyle h(w,z)={overline {mathbf {w} }}^{T}mathbf {Hz} }
H的分量给出为Hij = h(ei, ej)。
关联于埃尔米特形式的二次形式
Q(z) = h(z,z)
总是实数的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式，当且仅当关联的二次形式是实数的，对于所有z ∈ V。
斜-埃尔米特形式
斜-埃尔米特形式（也叫做反对称半双线性形式）是半双线性形式ε : V × V → C，有着
- ε(w,z)=−ε(z,w)¯{displaystyle varepsilon (w,z)=-{overline {varepsilon (z,w)}}}
所有斜埃尔米特形式可以写为i乘以埃尔米特形式。
如果V是有限维空间，则相对于任何V的基{ei}，斜埃尔米特形式可表示为斜埃尔米特矩阵A：
- ε(w,z)=w¯TAz{displaystyle varepsilon (w,z)={overline {mathbf {w} }}^{T}mathbf {Az} }
关联于斜埃尔米特形式的二次形式
Q(z) = ε(z,z)
总是纯虚数。
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