n维球面








2维球面的正交投影


n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的n维球面称为单位n维球面，记为Sn。用符号来表示，就是：


Sn={x∈Rn+1:‖x‖=1}.{displaystyle S^{n}=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:|x|=1right}.}S^{n}=left{xin {mathbb {R}}^{{n+1}}:|x|=1right}.

n维球面是(n + 1)维球体的表面或边界，是n维流形的一种。对于n ≥ 2，n维球面是单连通的n维流形，其曲率为正的常数。




目录






  • 1 描述


    • 1.1 (n + 1)维空间中的欧几里得坐标


    • 1.2 n维球体




  • 2 n维球体的体积


    • 2.1 例子




  • 3 超球坐标系


  • 4 球极平面投影


  • 5 参见


  • 6 参考文献


  • 7 外部链接





描述



三维球面的平行線（紅色）、 子午線（藍色）以及超子午線（綠色）的立體投影法。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即直線）。


对于任何自然数n，半径为r的n维球面定义为(n + 1)维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数r的所有点的集合，其中r可以是任何正的实数。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地：



  • 0维球面是直线上的两个点{p − r, p + r}；

  • 1维球面是平面上的圆；

  • 2维球面是三维空间内的普通球面；


  • 3维球面是四维空间内的球面。



(n + 1)维空间中的欧几里得坐标


(n + 1)维空间中的点：(x1、x1、x2、……、xn+1)定义了一个n维球面(Sn)，由以下方程表示：


r2=∑i=1n+1(xi−Ci)2.{displaystyle r^{2}=sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.,}r^{2}=sum _{{i=1}}^{{n+1}}(x_{i}-C_{i})^{2}.,

其中C是中心点，r是半径。


以上的n维球面在(n + 1)维空间中存在，是n维流形的一个例子。半径为r{displaystyle r}r的n维球面的体积形式ω由下式给出：


ω=1r∑j=1n+1(−1)j−1xjdx1∧⋯∧dxj−1∧dxj+1∧⋯∧dxn+1=∗dr{displaystyle omega ={1 over r}sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j},dx_{1}wedge cdots wedge dx_{j-1}wedge dx_{j+1}wedge cdots wedge dx_{n+1}=*dr}omega ={1 over r}sum _{{j=1}}^{{n+1}}(-1)^{{j-1}}x_{j},dx_{1}wedge cdots wedge dx_{{j-1}}wedge dx_{{j+1}}wedge cdots wedge dx_{{n+1}}=*dr

其中*是霍奇星算子（关于讨论和这个公式在r = 1的情形下的证明，请参见Flanders (1989， §6.1)）。因此，dr∧ω=dx1∧⋯∧dxn+1.{displaystyle scriptstyle {drwedge omega =dx_{1}wedge cdots wedge dx_{n+1}}.}scriptstyle {drwedge omega =dx_{1}wedge cdots wedge dx_{{n+1}}}.



n维球体


由n维球面所包围的体积，称为(n + 1)维球体。如果把球体的表面包括在内，则(n + 1)维球体是封闭的，否则是开放的。


特别地：



  • 1维球体，是一个线段，是0维球面的内部。

  • 2维球体，是一个圆盘，是圆（1维球面）的内部。

  • 3维球体，是一个普通的球体，是球面（2维球面）的内部。

  • 4维球体，是3维球面的内部。



n维球体的体积


(n−1){displaystyle (n-1)}(n-1)维球面所包围的体积（n{displaystyle n}n维球体的体积）由以下公式给出：



Vn=πn2RnΓ(n2+1)=CnRn{displaystyle V_{n}={pi ^{frac {n}{2}}R^{n} over Gamma ({frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}}V_{n}={pi ^{{frac {n}{2}}}R^{n} over Gamma ({frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}},

其中Γ{displaystyle Gamma }Gamma 是伽玛函数。对于偶数n{displaystyle n}n，Γ(n2+1)=(n2)!{displaystyle Gamma left({frac {n}{2}}+1right)=left({frac {n}{2}}right)!}Gamma left({frac {n}{2}}+1right)=left({frac {n}{2}}right)!；对于奇数n{displaystyle n}n，Γ(n2+1)=πn!!2(n+1)/2{displaystyle Gamma left({frac {n}{2}}+1right)={sqrt {pi }}{frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}Gamma left({frac {n}{2}}+1right)={sqrt {pi }}{frac {n!!}{2^{{(n+1)/2}}}}，其中n!!{displaystyle n!!}n!!表示双阶乘。


由此可以推出，对于给定的n{displaystyle n}n，常数Cn{displaystyle C_{n}}C_{n}的值为：



Cn=πkk!{displaystyle C_{n}={frac {pi ^{k}}{k!}}}C_{n}={{frac {pi ^{k}}{k!}}}（对于偶数n=2k），


Cn=C2k+1=22k+1k!πk(2k+1)!{displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={frac {2^{2k+1}k!,pi ^{k}}{(2k+1)!}}}C_{n}=C_{{2k+1}}={frac {2^{{2k+1}}k!,pi ^{{k}}}{(2k+1)!}}（对于奇数n=2k+1）。

这个(n-1)维球面的表面积是：


Sn−1=dVndR=nVnR=2πn2Rn−1Γ(n2)=nCnRn−1{displaystyle S_{n-1}={frac {dV_{n}}{dR}}={frac {nV_{n}}{R}}={2pi ^{frac {n}{2}}R^{n-1} over Gamma ({frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}}S_{{n-1}}={frac {dV_{n}}{dR}}={frac {nV_{n}}{R}}={2pi ^{{frac {n}{2}}}R^{{n-1}} over Gamma ({frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{{n-1}}}

n维球面的表面积和体积之间有以下的关系：


Vn/Sn−1=R/n{displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n,}V_{n}/S_{{n-1}}=R/n,

Sn+1/Vn=2πR{displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2pi R,}S_{{n+1}}/V_{n}=2pi R,

从此可以推导出递推关系：


Vn=2πR2nVn−2{displaystyle V_{n}={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2},}V_{n}={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}},

这些公式也可以直接从n维球坐标系中的积分推出（Stewart 2006，p.881）。



例子


对于较小的n{displaystyle n}n，半径为R{displaystyle R}R的n{displaystyle n}n维球体体积Vn{displaystyle V_{n}}V_{n}为如下：



































































V0{displaystyle V_{0},}V_{0},
 =
1{displaystyle 1,}1,
  
  

V1{displaystyle V_{1},}V_1,
 =
2R{displaystyle 2,R}2,R
  
  

V2{displaystyle V_{2},}V_2,
 =
πR2{displaystyle pi ,R^{2}}pi ,R^{2}
≈{displaystyle approx }approx
3.14159R2{displaystyle 3.14159,R^{2}}3.14159,R^{2}

V3{displaystyle V_{3},}V_{3},
 =
4π3R3{displaystyle {frac {4pi }{3}},R^{3}}{frac {4pi }{3}},R^{3}
≈{displaystyle approx }approx
4.18879R3{displaystyle 4.18879,R^{3}}4.18879,R^{3}

V4{displaystyle V_{4},}V_{4},
 =
π22R4{displaystyle {frac {pi ^{2}}{2}},R^{4}}{frac {pi ^{2}}{2}},R^{4}
≈{displaystyle approx }approx
4.93480R4{displaystyle 4.93480,R^{4}}4.93480,R^{4}

V5{displaystyle V_{5},}V_{5},
 =
8π215R5{displaystyle {frac {8pi ^{2}}{15}},R^{5}}{frac {8pi ^{2}}{15}},R^{5}
≈{displaystyle approx }approx
5.26379R5{displaystyle 5.26379,R^{5}}5.26379,R^{5}

V6{displaystyle V_{6},}V_{6},
 =
π36R6{displaystyle {frac {pi ^{3}}{6}},R^{6}}{frac {pi ^{3}}{6}},R^{6}
≈{displaystyle approx }approx
5.16771R6{displaystyle 5.16771,R^{6}}5.16771,R^{6}

V7{displaystyle V_{7},}V_{7},
 =
16π3105R7{displaystyle {frac {16pi ^{3}}{105}},R^{7}}{frac {16pi ^{3}}{105}},R^{7}
≈{displaystyle approx }approx
4.72477R7{displaystyle 4.72477,R^{7}}4.72477,R^{7}

V8{displaystyle V_{8},}V_{8},
 =
π424R8{displaystyle {frac {pi ^{4}}{24}},R^{8}}{frac {pi ^{4}}{24}},R^{8}
≈{displaystyle approx }approx
4.05871R8{displaystyle 4.05871,R^{8}}4.05871,R^{8}

但当 n{displaystyle n}n 趋于无穷大时，VnRn{displaystyle {frac {V_{n}}{R^{n}}}}{frac {V_{n}}{R^{n}}} 趋于0。


如果维度n不限于整数，那么n维球面的体积就是n的连续函数，它的极大值位于n = 5.2569464...，体积为5.277768...。当n = 0或n = 12.76405...时，体积为1。


单位n维球面的外切超正方体的边长为2，因此体积为2n；当维度增加时，n维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。



超球坐标系


我们可以定义n维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系类似，由径向坐标 r{displaystyle r} r和 n−1{displaystyle n-1} n-1个角度坐标 ϕ1,ϕ2,...,ϕn−1{displaystyle phi _{1},phi _{2},...,phi _{n-1}} phi _{1},phi _{2},...,phi _{{n-1}}组成。如果 xi{displaystyle x_{i}} x_{i}是笛卡儿坐标系，那么我们可以定义：



x1=rcos⁡(ϕ1){displaystyle x_{1}=rcos(phi _{1}),}x_{1}=rcos(phi _{1}),

x2=rsin⁡(ϕ1)cos⁡(ϕ2){displaystyle x_{2}=rsin(phi _{1})cos(phi _{2}),}x_{2}=rsin(phi _{1})cos(phi _{2}),

x3=rsin⁡(ϕ1)sin⁡(ϕ2)cos⁡(ϕ3){displaystyle x_{3}=rsin(phi _{1})sin(phi _{2})cos(phi _{3}),}x_{3}=rsin(phi _{1})sin(phi _{2})cos(phi _{3}),

⋯{displaystyle cdots ,}cdots ,

xn−1=rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)cos⁡(ϕn−1){displaystyle x_{n-1}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})cos(phi _{n-1}),}x_{{n-1}}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{{n-2}})cos(phi _{{n-1}}),

xn  =rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)sin⁡(ϕn−1){displaystyle x_{n}~~,=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})sin(phi _{n-1}),}x_{n}~~,=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{{n-2}})sin(phi _{{n-1}}),


从中可以推出逆变换的公式：



tan⁡(ϕn−1)=xnxn−1{displaystyle tan(phi _{n-1})={frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}tan(phi _{{n-1}})={frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}

tan⁡(ϕn−2)=xn2+xn−12xn−2{displaystyle tan(phi _{n-2})={frac {sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}tan(phi _{{n-2}})={frac {{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{{n-1}}}^{2}}}}{x_{{n-2}}}}

⋯{displaystyle cdots ,}cdots ,

tan⁡(ϕ1)=xn2+xn−12+⋯+x22x1{displaystyle tan(phi _{1})={frac {sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}tan(phi _{{1}})={frac {{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{{n-1}}}^{2}+cdots +{x_{2}}^{2}}}}{x_{{1}}}}


注意最后一个角ϕn−1{displaystyle phi _{n-1}}phi _{{n-1}}的值域为2π{displaystyle 2pi }2pi ，而其它角的值域为π{displaystyle pi }pi 。这个值域覆盖了整个球面。


n维空间内的体积元素可以从变换的雅可比行列式得出：


dRnV=|det∂(xi)∂(r,ϕj)|drdϕ1dϕ2…dϕn−1{displaystyle d_{mathbb {R} ^{n}}V=left|det {frac {partial (x_{i})}{partial (r,phi _{j})}}right|dr,dphi _{1},dphi _{2}ldots dphi _{n-1}}d_{{{mathbb {R}}^{n}}}V=left|det {frac {partial (x_{i})}{partial (r,phi _{j})}}right|dr,dphi _{1},dphi _{2}ldots dphi _{{n-1}}

=rn−1sinn−2⁡(ϕ1)sinn−3⁡(ϕ2)⋯sin⁡(ϕn−2)drdϕ1dϕ2⋯dϕn−1{displaystyle =r^{n-1}sin ^{n-2}(phi _{1})sin ^{n-3}(phi _{2})cdots sin(phi _{n-2}),dr,dphi _{1},dphi _{2}cdots dphi _{n-1}}=r^{{n-1}}sin ^{{n-2}}(phi _{1})sin ^{{n-3}}(phi _{2})cdots sin(phi _{{n-2}}),dr,dphi _{1},dphi _{2}cdots dphi _{{n-1}}

以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：


Vn=∫r=0R∫ϕ1=0π⋯∫ϕn−2=0π∫ϕn−1=02πdRnV.{displaystyle V_{n}=int _{r=0}^{R}int _{phi _{1}=0}^{pi }cdots int _{phi _{n-2}=0}^{pi }int _{phi _{n-1}=0}^{2pi }d_{mathbb {R} ^{n}}V.,}V_{n}=int _{{r=0}}^{R}int _{{phi _{1}=0}}^{pi }cdots int _{{phi _{{n-2}}=0}}^{pi }int _{{phi _{{n-1}}=0}}^{{2pi }}d_{{{mathbb {R}}^{n}}}V.,

(n-1)–维球面的体积元素是2维球面的面积元素的推广，由以下公式给出：


dSn−1V=sinn−2⁡(ϕ1)sinn−3⁡(ϕ2)⋯sin⁡(ϕn−2)dϕ1dϕ2…dϕn−1{displaystyle d_{S^{n-1}}V=sin ^{n-2}(phi _{1})sin ^{n-3}(phi _{2})cdots sin(phi _{n-2}),dphi _{1},dphi _{2}ldots dphi _{n-1}}d_{{S^{{n-1}}}}V=sin ^{{n-2}}(phi _{1})sin ^{{n-3}}(phi _{2})cdots sin(phi _{{n-2}}),dphi _{1},dphi _{2}ldots dphi _{{n-1}}


球极平面投影


就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点 [x,y,z]{displaystyle [x,y,z]} [x,y,z]映射到 xy{displaystyle xy} xy平面上的点 [x,y,z]↦[x1−z,y1−z]{displaystyle [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right]} [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right]。也就是说：


 [x,y,z]↦[x1−z,y1−z].{displaystyle [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right].} [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right].

类似地，半径为1的n维球面Sn−1{displaystyle mathbf {S} ^{n-1}}{mathbf {S}}^{{n-1}}的球极平面投影映射到垂直于 xn{displaystyle x_{n}} x_{n}轴的n-1维超平面Rn−1{displaystyle mathbf {R} ^{n-1}}{mathbf {R}}^{{n-1}}：


[x1,x2,…,xn]↦[x11−xn,x21−xn,…,xn−11−xn].{displaystyle [x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]mapsto left[{frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{frac {x_{2}}{1-x_{n}}},ldots ,{frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}right].}[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]mapsto left[{frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{frac {x_{2}}{1-x_{n}}},ldots ,{frac {x_{{n-1}}}{1-x_{n}}}right].


参见



  • 共形几何

  • 同调球

  • 球的同伦群

  • 同伦球

  • 双曲群

  • 超正方体

  • 反演几何

  • 正交群

  • 莫比乌斯变换



参考文献




  • Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 .


  • Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0-13-373770-7 （第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）


  • Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 （第14章：The Hypersphere）

  • Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.


  • Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006 .



外部链接


  • 埃里克·韦斯坦因. 超球面. MathWorld. 

科学空间：求n维球的体积http://spaces.ac.cn/index.php/archives/3154/






























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