Mixing
共轭复数
复平面上z{displaystyle z}
和它的共轭复数z¯{displaystyle {overline {z}}}
的表示。在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數
- z=a+bi(a,b∈R){displaystyle z=a+biquad (a,bin mathbb {R} )}
的複共軛是
- z¯=a−bi{displaystyle {overline {z}}=a-bi}
舉例明之：
- 3−2i¯=3+2i{displaystyle {overline {3-2i}}=3+2i}
- 7¯=7{displaystyle {overline {7}}=7}
在複數的極坐標表法下，複共軛寫成
- reiθ¯=re−iθ{displaystyle {overline {re^{itheta }}}=re^{-itheta }}
這點可以透過歐拉公式驗證
將複數理解為複平面，則複共軛無非是對實軸的反射。複數z{displaystyle z}
性質
對於複數z,w{displaystyle z,w}
- z+w¯=z¯+w¯z−w¯=z¯−w¯zw¯=z¯w¯(zw)¯=z¯w¯(w≠0)z¯=z(z∈R)zn¯=z¯n(n∈Z)|z¯|=|z||z¯|2=zz¯(z¯)¯=zz−1=z¯|z|2(z≠0){displaystyle {begin{array}{l}{overline {z+w}}={overline {z}}+{overline {w}}\{overline {z-w}}={overline {z}}-{overline {w}}\{overline {zw}}={overline {z}},{overline {w}}\{overline {left({dfrac {z}{w}}right)}}={dfrac {overline {z}}{overline {w}}}&(wneq 0)\{overline {z}}=z&(zin mathbb {R} )\{overline {z^{n}}}={overline {z}}^{n}&(nin mathbb {Z} )\|{overline {z}}|=|z|\|{overline {z}}|^{2}=z{overline {z}}\{overline {({overline {z}})}}=z\z^{-1}={dfrac {overline {z}}{|z|^{2}}}&(zneq 0)end{array}}}
一般而言，如果複平面上的函數ϕ{displaystyle phi }
- ϕ(z¯)=ϕ(z)¯{displaystyle phi ({overline {z}})={overline {phi (z)}}}
最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：
- exp(z¯)=exp(z)¯log(z¯)=log(z)¯(z≠0){displaystyle {begin{array}{l}exp({overline {z}})={overline {exp(z)}}\log({overline {z}})={overline {log(z)}}&(zneq 0)end{array}}}
其它觀點
複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。
記複共軛為τ{displaystyle tau }
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