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布洛赫球面
布洛赫球面
量子力學中，以自旋物理與核磁共振專家费利克斯·布洛赫（Felix Bloch）姓氏命名的布洛赫球面是一種對於雙態系統中純態空間的幾何表示法。在討論量子位元的場合上常常運用到。[1]
目录
1 布洛赫球面諸點與純態的對應
2 習慣差異
3 布洛赫球與混合態
4 參見
5 註釋
6 外部連結
布洛赫球面諸點與純態的對應
對量子位元這樣的二階量子系統而言，其存在的可能狀態|ψ⟩{displaystyle |psi rangle }
從任意純態出發：|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩{displaystyle |psi rangle =alpha ,|0rangle +beta ,|1rangle }
故可設：
- α=cosθeiδ,β=sinθei(δ+ϕ){displaystyle alpha =cos theta ,e^{idelta },quad beta =sin theta ,e^{i(delta +phi )},}
- ⇒|ψ⟩=cosθeiδ|0⟩+sinθei(δ+ϕ)|1⟩=eiδ(cosθ|0⟩+sinθeiϕ|1⟩){displaystyle Rightarrow |psi rangle =cos theta ,e^{idelta },|0rangle +sin theta ,e^{i(delta +phi )},|1rangle =e^{idelta }(cos theta ,|0rangle +sin theta ,e^{iphi },|1rangle )}
其中eiδ{displaystyle e^{idelta },}
至於相對相位(relative phase) eiϕ{displaystyle e^{iphi },}
- |ψ⟩=cosθ|0⟩+sinθeiϕ|1⟩{displaystyle |psi rangle =cos theta ,|0rangle +sin theta ,e^{iphi },|1rangle }
可以看到|0⟩{displaystyle |0rangle }
- 0≤θ≤π2⇒0≤2θ≤π,{displaystyle 0leq theta leq {frac {pi }{2}}Rightarrow 0leq 2theta leq pi ,quad }
- 0≤ϕ<2π{displaystyle 0leq phi <2pi }
將2θ{displaystyle 2theta ,}
- x=sin2θ×cosϕy=sin2θ×sinϕz=cos2θ{displaystyle {begin{matrix}x&=&sin 2theta times cos phi \y&=&sin 2theta times sin phi \z&=&cos 2theta end{matrix}}}
可以注意到正交（有「垂直，呈90度關係」的意思）的兩個基底|0⟩{displaystyle |0rangle }
|0⟩{displaystyle |0rangle }、
|1⟩{displaystyle |1rangle }，
離球心距離皆是1。
習慣差異
有些學者及書刊對於球面所採用的表示為：
- x=sinθ×cosϕy=sinθ×sinϕz=cosθ{displaystyle {begin{matrix}x&=&sin theta times cos phi \y&=&sin theta times sin phi \z&=&cos theta end{matrix}}}
角度範圍：
- 0≤θ≤π,0≤ϕ<2π{displaystyle 0leq theta leq pi ,quad 0leq phi <2pi }
是故，其狀態|ψ⟩{displaystyle |psi rangle }
- |ψ⟩=cosθ2|0⟩+sinθ2eiϕ|1⟩{displaystyle |psi rangle =cos {frac {theta }{2}},|0rangle +sin {frac {theta }{2}},e^{iphi },|1rangle }
此種表示法的用意在使布洛赫球面上(θ,ϕ){displaystyle (theta ,phi ),}
布洛赫球與混合態
布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的擴充，混合態（mixed state）會出現在球內（離球心距離<1的點）而不是球面上。[2][3]並可從此推論出球心該點所代表的量子狀態是最大混合態（maximally mixed state），用密度矩陣形式及狄拉克標記表示即（另見「量子位元」）：
- 121=12(1001){displaystyle {frac {1}{2}}mathbf {1} ={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}}
=12(1000)+12(0001){displaystyle ={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}}+{frac {1}{2}}{begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}}}=12|0⟩⟨0|+12|1⟩⟨1|=12z++12z−{displaystyle ={frac {1}{2}}|0rangle langle 0|+{frac {1}{2}}|1rangle langle 1|={frac {1}{2}}z_{+}+{frac {1}{2}}z_{-}}
- =12(12121212)+12(12−12−1212)=12x++12x−{displaystyle ={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}+{frac {1}{2}}{begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&-{frac {1}{2}}\-{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}={frac {1}{2}}x_{+}+{frac {1}{2}}x_{-}}
=12(12−i2i212)+12(12i2−i212)=12y++12y−{displaystyle ={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&-{frac {i}{2}}\{frac {i}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}+{frac {1}{2}}{begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {i}{2}}\-{frac {i}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}={frac {1}{2}}y_{+}+{frac {1}{2}}y_{-}}。
可以看到这是兩個彼此正交的純態以恰好一半一半的比例構成混合態。
參見
- 居量反轉
註釋
^ Bloch, Felix. Nuclear induction. Phys. Rev. Oct 1946, 70 (7-8): 460–474. Bibcode:1946PhRv...70..460B. doi:10.1103/physrev.70.460.
^
Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-63503-5.
^ http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere
外部連結
- Density Operator of a Single Qubit: The Bloch Sphere
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Portal:物理学
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