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凯勒流形
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在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(n)-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形
[1]、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。
这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集：
- U(n)=O(2n)∩GL(n,C)∩Sp(2n).{displaystyle U(n)=O(2n)cap GL(n,mathbf {C} )cap Sp(2n).}
若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果複结构是可积的（但辛结构不要求），则为埃尔米特流形。
凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名，在代数几何中占有重要的地位：它们是複代数簇的一个微分几何推广。
目录
1 定义
2 例子
3 相关条目
4 注释
5 参考文献
定义
带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，它有多种等价的表述。
凯勒流形可以多种方法刻画：它们通常定义了具有一个附加结构的复流形（或具有附加结构的辛流形，或具有附加结构的黎曼流形）。
可以将这三个结构之间的联系总结为 h=g+iω{displaystyle h=g+iomega }
复流形 M 上一个凯勒度量是切丛 TM{displaystyle TM}
- h=∑hij¯dzi⊗dz¯j{displaystyle h=sum h_{i{bar {j}}};dz^{i}otimes d{bar {z}}^{j}}
是埃尔米特度量，则伴随的凯勒形式定义为（在差一个因子 i/2 的意义下）
- ω=∑hij¯dzi∧dz¯j{displaystyle omega =sum h_{i{bar {j}}};dz^{i}wedge d{bar {z}}^{j}}
是闭的：即 dω = 0。如果 M 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。
凯勒流形上的度量局部满足
- gij¯=∂2K∂zi∂z¯j{displaystyle g_{i{bar {j}}}={frac {partial ^{2}K}{partial z^{i}partial {bar {z}}^{j}}}}
对某个函数 K，称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题，特别是典则度量（包括凯勒-爱因斯坦，常数量曲率凯勒度量和极值度量）的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展，近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。
一个凯勒流形，伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦（Kähler-Einstein，有时也叫爱因斯坦-凯勒）的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例，Ricg=λg{displaystyle Ric;g=lambda g}
例子
- 复欧几里得空间 Cn 带着标准埃尔米特度量是一个凯勒流形。
- 环面 Cn/Λ（Λ 为一完全格）由 Cn 上继承一个平坦度量，从而是一个紧致凯勒流形。
黎曼曲面上每个黎曼度量是凯勒的，因为 ω 闭的条件在（实）2 维是平凡的。
复射影空间 CPn 有一个齐性凯勒度量，富比尼–施图迪度量。向量空间 Cn + 1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n + 1,C) 中一个酉子群；一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；由初等线性代数，任何两个富比尼–施图迪度量在 CPn 的一个投影自同态下是等距的，故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。- 一个凯勒流形的複流形上的诱导度量是凯勒的。特别地，任何施坦流形（嵌入 Cn）或代数簇（嵌入 CPn）是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。
- 单位复球体 Bn 有一个凯勒度量叫做伯格曼度量，具有常全纯截面曲率。
- 每个K3曲面是凯勒的（得自萧荫堂的一个定理）。
凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。
相关条目
- 殆复流形
超凯勒流形（Hyper-Kähler manifold）
凯勒–爱因斯坦度量（Kähler–Einstein metric）- Quaternion-Kähler manifold
- 复泊松流形
- 卡拉比–丘流形
注释
^ Gizem Karaali"Kahler-Ricci Flow On Kahler Manifolds"
参考文献
André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)- Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
- Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.
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