二次函数






解析式：f(x)=x2−x−2{displaystyle f(x)=x^{2}-x-2,!}f(x)=x^{2}-x-2,!


在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为 f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}f(x)=ax^{2}+bx+c,!（a≠0{displaystyle aneq 0,!}aneq 0,!，且a{displaystyle a}a、b{displaystyle b}b、c{displaystyle c}c是常数）的多项式函数，其中，x{displaystyle x}x为自变量[a]，a{displaystyle a}a、b{displaystyle b}b、c{displaystyle c}c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y{displaystyle y}y轴的抛物线。[1]


二次函数表达式ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}ax^{2}+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x{displaystyle x}x的最高次数是2。


如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。




目录






  • 1 历史


  • 2 根


  • 3 二次函数的形式


  • 4 图像


    • 4.1 x 截距


    • 4.2 顶点




  • 5 二次函数的平方根


  • 6 二元二次函数


    • 6.1 最小值/最大值




  • 7 註釋


  • 8 参考资料


    • 8.1 参考书目




  • 9 參見


  • 10 外部連結





历史


大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]



根


更多信息：二次方程和韦达定理

二次方程 ax2+bx+c=0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0,!}ax^{2}+bx+c=0,! 的两个根为：



x=−b±b2−4ac2a{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
解方程后，我们会得到两个根：x1{displaystyle x_{1}}x_1和x2{displaystyle x_{2}}x_2。则点(x1,0){displaystyle (x_{1},0)}{displaystyle (x_{1},0)}和(x2,0){displaystyle (x_{2},0)}{displaystyle (x_{2},0)}就是二次函数与x{displaystyle x}x轴的交点。根的类型如下：


  • 设Δ=b2−4ac{displaystyle Delta =b^{2}-4ac,}Delta =b^{2}-4ac,為一元二次方程式的判別式，又記作D。

  • 當Δ>0{displaystyle Delta >0,!}Delta >0,!，则方程有两个不相等的根，也即与x{displaystyle x}x轴有两个不重疊的交点，因为Δ{displaystyle {sqrt {Delta }}}{sqrt {Delta }}是正数。

  • 當Δ=0{displaystyle Delta =0,!}Delta =0,!，则方程有两个相等的根，也即与x{displaystyle x}x轴有一个切点，因为Δ{displaystyle {sqrt {Delta }}}{sqrt {Delta }}是零。

  • 當Δ<0{displaystyle Delta <0,!}Delta <0,!，则方程没有實數根，也即与 x{displaystyle x}x 轴没有交点，因为Δ{displaystyle {sqrt {Delta }}}{sqrt {Delta }}是共軛複數。


设r1=−b+b2−4ac2a{displaystyle r_{1}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}r_{1}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}和r2=−b−b2−4ac2a{displaystyle r_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}r_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}，我们可以把ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c,!}ax^{2}+bx+c,!因式分解为a(x−r1)(x−r2){displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2}),!}a(x-r_{1})(x-r_{2}),!。



二次函数的形式


二次函数可以表示成以下三种形式：




  • f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}f(x)=ax^{2}+bx+c,!称为一般形式或多项式形式。


  • f(x)=a(x−r1)(x−r2){displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!}f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!称为因子形式或交点式，其中r1{displaystyle r_{1}}r_{1}和r2{displaystyle r_{2}}r_{2}是二次方程的两个根，(r1,0){displaystyle (r_{1},0)}(r_1,0),(r2,0){displaystyle (r_{2},0)}(r_2,0)是抛物线与x{displaystyle x}x轴的两个交点。


  • f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k,!}f(x)=a(x-h)^{2}+k,!称为标准形式或顶点形式，(h,k){displaystyle (h,k)}(h,k)即為此二次函數的頂點。


把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根r1{displaystyle r_{1}}r_{1}和r2{displaystyle r_{2}}r_{2}，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。


h{displaystyle h}h代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為h{displaystyle h}h



  • k{displaystyle k}k展開後比較後可得 k=−a(|r1−r2|2)2{displaystyle k=-aleft({frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}right)^{2}}{displaystyle k=-aleft({frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}right)^{2}}

不通過r1{displaystyle r_{1}}r_{1}和r2{displaystyle r_{2}}r_{2}求k{displaystyle k}k及h{displaystyle h}h公式：



  • h=−b2a{displaystyle h=-{frac {b}{2a}}}h=-{frac {b}{2a}}


  • k=−b2−4ac4a{displaystyle k=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}}{displaystyle k=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}} (也作k=4ac−b24a{displaystyle k={frac {4ac-b^{2}}{4a}}}k={frac {4ac-b^{2}}{4a}})


而在三種形式中皆出現的a{displaystyle a}a為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。



图像





f(x)=ax2,{displaystyle f(x)=ax^{2},!}f(x)=ax^{2},!a={0.1,0.3,1,3}{displaystyle a={0.1,0.3,1,3}!}a={0.1,0.3,1,3}!





f(x)=x2+bx,{displaystyle f(x)=x^{2}+bx,!}f(x)=x^{2}+bx,! b={1,2,3,4}{displaystyle b={1,2,3,4}!}b={1,2,3,4}!





f(x)=x2+bx,{displaystyle f(x)=x^{2}+bx,!}f(x)=x^{2}+bx,! b={−1,−2,−3,−4}{displaystyle b={-1,-2,-3,-4}!}b={-1,-2,-3,-4}!


  • 系数a{displaystyle a}a控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，a{displaystyle a}a越大，函数就增长得越快。

  • 系数b{displaystyle b}b和a{displaystyle a}a控制了抛物线的对称轴（以及顶点的x{displaystyle x}x坐标）。

  • 系数b{displaystyle b}b控制了抛物线穿过y{displaystyle y}y轴时的倾斜度（导数）。

  • 系数c{displaystyle c}c控制了抛物线的高度，它是抛物线与y{displaystyle y}y轴的交点。
































































函数
 图像
 函数变化
 对称轴
 开口方向
 最大（小）值
y=ax2{displaystyle y=ax^{2}}y=ax^2 a>0{displaystyle a>0}a>0 Function ax^2.jpg 当x>0{displaystyle x>0}x>0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x的增大而增大；
当x<0{displaystyle x<0}x<0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的减小而增大
y{displaystyle y}y轴
或x=0{displaystyle x=0}x=0
 向上
0{displaystyle 0}{displaystyle 0}
y=ax2{displaystyle y=ax^{2}}y=ax^2 a<0{displaystyle a<0}a<0 当x>0{displaystyle x>0}x>0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的增大而减小；
当x<0{displaystyle x<0}x<0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的减小而减小
y{displaystyle y}y轴
或x=0{displaystyle x=0}x=0
 向下
0{displaystyle 0}{displaystyle 0}
y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}y=ax^2+c a>0{displaystyle a>0}a>0 当x>0{displaystyle x>0}x>0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的增大而增大；
当x<0{displaystyle x<0}x<0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的减小而增大
y{displaystyle y}y轴
或x=0{displaystyle x=0}x=0
 向上
c{displaystyle c}c
y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}y=ax^2+c a<0{displaystyle a<0}a<0 当x>0{displaystyle x>0}x>0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x的增大而减小；
当x<0{displaystyle x<0}x<0时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x 的减小而减小
y{displaystyle y}y 轴
或 x=0{displaystyle x=0}x=0
 向下
c{displaystyle c}c
y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c}y=ax^{2}+bx+c a>0{displaystyle a>0}a>0 当x>−b2a{displaystyle x>-{frac {b}{2a}}}x>-frac{b}{2a}时，y{displaystyle y}y 随x{displaystyle x}x的增大而增大；
当x<−b2a{displaystyle x<-{frac {b}{2a}}}x<-frac{b}{2a}时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x的减小而增大		 x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}x=-{frac {b}{2a}} 向上
−Δ4a{displaystyle -{frac {Delta }{4a}}}-frac{Delta}{4 a}(−b2−4ac4a){displaystyle left(-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right)}{displaystyle left(-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right)}
y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c}y=ax^{2}+bx+c a<0{displaystyle a<0}a<0 当x>−b2a{displaystyle x>-{frac {b}{2a}}}x>-frac{b}{2a}时，y{displaystyle y}y 随x{displaystyle x}x的增大而减小；
当x<−b2a{displaystyle x<-{frac {b}{2a}}}x<-frac{b}{2a}时，y{displaystyle y}y随x{displaystyle x}x的减小而减小		 x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}x=-{frac {b}{2a}} 向下
−Δ4a{displaystyle -{frac {Delta }{4a}}}-frac{Delta}{4 a}(−b2−4ac4a){displaystyle left(-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right)}{displaystyle left(-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right)}


x 截距


当函数与x{displaystyle x}x轴有两个交点时，设这两个交点分别为 A(x1,0),B(x2,0){displaystyle A(x_{1},0),,B(x_{2},0)}{displaystyle A(x_{1},0),,B(x_{2},0)}，由根与系数的关系得出[d]：x1+x2=−ba{displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}}{displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}}和x1x2=ca{displaystyle x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}}x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}



∴AB=|x2−x1|=|(x2−x1)2|=|(x1+x2)2−4x1x2|=|(−ba)2−4ca|=|b2a2−4aca2|=|b2−4aca2|=b2−4ac|a|    或    Δ|a|{displaystyle {begin{aligned}therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\&=left|{sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}right|\&=left|{sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}right|\&=left|{sqrt {left(-{frac {b}{a}}right)^{2}-{frac {4c}{a}}}}right|\&=left|{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}-{frac {4ac}{a^{2}}}}}right|\&=left|{sqrt {frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}right|\&={frac {sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}} {text{或}} {frac {sqrt {Delta }}{|a|}}end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\&=left|{sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}right|\&=left|{sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}right|\&=left|{sqrt {left(-{frac {b}{a}}right)^{2}-{frac {4c}{a}}}}right|\&=left|{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}-{frac {4ac}{a^{2}}}}}right|\&=left|{sqrt {frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}right|\&={frac {sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}} {text{或}} {frac {sqrt {Delta }}{|a|}}end{aligned}}}[2]


顶点


抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为(h,k){displaystyle (h,k),!}(h,k),!。用配方法，可以把一般形式f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}f(x)=ax^{2}+bx+c,!化为：



f(x)=a(x+b2a)2+4ac−b24a{displaystyle f(x)=aleft(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

{displaystyle f(x)=aleft(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

[3][4]

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：



(−b2a,−Δ4a){displaystyle left(-{frac {b}{2a}},-{frac {Delta }{4a}}right)}

{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},-{frac {Delta }{4a}}right)}
如果二次函数是因子形式f(x)=a(x−r1)(x−r2){displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!}f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!，则两个根的平均数

r1+r22{displaystyle {frac {r_{1}+r_{2}}{2}},!}

{displaystyle {frac {r_{1}+r_{2}}{2}},!}
就是顶点的x{displaystyle x}x坐标，因此顶点位于

(r1+r22,f(r1+r22)){displaystyle left({frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({frac {r_{1}+r_{2}}{2}})right)!}

{displaystyle left({frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({frac {r_{1}+r_{2}}{2}})right)!}

a<0{displaystyle a<0,!}a<0,!时，顶点也是最大值；a>0{displaystyle a>0,!}a>0,!时，则是最小值。

经过顶点的竖直线



x=h=−b2a{displaystyle x=h=-{frac {b}{2a}}}

{displaystyle x=h=-{frac {b}{2a}}}
又称为抛物线的对称轴。

  • 最大值和最小值

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}f(x)=ax^{2}+bx+c,!，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：

f(x)=ax2+bx+c⇔f′(x)=2ax+b{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+cLeftrightarrow ,!f'(x)=2ax+b,!}

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+cLeftrightarrow ,!f'(x)=2ax+b,!}
然后，求出f′(x){displaystyle f'(x),!}f'(x),!的根：

2ax+b=0⇒2ax=−b⇒x=−b2a{displaystyle 2ax+b=0Rightarrow ,!2ax=-bRightarrow ,!x=-{frac {b}{2a}}}

{displaystyle 2ax+b=0Rightarrow ,!2ax=-bRightarrow ,!x=-{frac {b}{2a}}}
因此，−b2a{displaystyle -{frac {b}{2a}}}-{frac {b}{2a}}是f(x){displaystyle f(x),!}f(x),!的x{displaystyle x,!}x,!值。现在，为了求出y{displaystyle y,!}y,!，我们把x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}x=-{frac {b}{2a}}代入 f(x){displaystyle f(x),!}f(x),!：

y=a(−b2a)2+b(−b2a)+c⇒y=ab24a2−b22a+c⇒y=b24a−b22a+c⇒y=b2−2b2+4ac4a⇒y=−b2+4ac4a⇒y=−(b2−4ac)4a⇒y=−Δ4a{displaystyle y=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+cRightarrow y={frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{frac {b^{2}}{2a}}+cRightarrow y={frac {b^{2}}{4a}}-{frac {b^{2}}{2a}}+cRightarrow y={frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}Rightarrow y={frac {-b^{2}+4ac}{4a}}Rightarrow y=-{frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}Rightarrow y=-{frac {Delta }{4a}}}

{displaystyle y=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+cRightarrow y={frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{frac {b^{2}}{2a}}+cRightarrow y={frac {b^{2}}{4a}}-{frac {b^{2}}{2a}}+cRightarrow y={frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}Rightarrow y={frac {-b^{2}+4ac}{4a}}Rightarrow y=-{frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}Rightarrow y=-{frac {Delta }{4a}}}
所以，最大值或最小值的坐标为：

(−b2a,−Δ4a){displaystyle left(-{frac {b}{2a}},-{frac {Delta }{4a}}right)}

{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},-{frac {Delta }{4a}}right)}



二次函数的平方根


二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果a>0{displaystyle a>0,!}a>0,!，则方程y=±ax2+bx+c{displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}}y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线yp=ax2+bx+c{displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!}y_{p}=ax^{2}+bx+c,!的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果a<0{displaystyle a<0,!}a<0,!，则方程y=±ax2+bx+c{displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}}y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线yp=ax2+bx+c{displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!}y_{p}=ax^{2}+bx+c,!的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。



二元二次函数


二元二次函数是以下形式的二次多项式：



f(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+Exy+F{displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,!}

{displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,!}
这个函数描述了一个二次曲面。把f(x,y){displaystyle f(x,y),!}f(x,y),!设为零，则描述了曲面与平面z=0{displaystyle z=0,!}z=0,!的交线，它是一条圆锥曲线。


最小值/最大值


如果4AB−E2<0{displaystyle 4AB-E^{2}<0,}4AB-E^{2}<0,，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。


如果 4AB−E2>0{displaystyle 4AB-E^{2}>0,}4AB-E^{2}>0,，则当A>0{displaystyle A>0}{displaystyle A>0}时函数具有最小值，当A<0{displaystyle A<0}{displaystyle A<0}具有最大值。其图像是椭圆抛物面。


二元二次函数的最大值或最小值在点 (xm,ym){displaystyle (x_{m},y_{m}),}(x_{m},y_{m}), 取得，其中：



xm=−2BC−DE4AB−E2{displaystyle x_{m}=-{frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}

{displaystyle x_{m}=-{frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}


ym=−2AD−CE4AB−E2{displaystyle y_{m}=-{frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}

{displaystyle y_{m}=-{frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}
如果4AB−E2=0{displaystyle 4AB-E^{2}=0,}4AB-E^{2}=0,且DE−2CB=2AD−CE≠0{displaystyle DE-2CB=2AD-CEneq 0,}DE-2CB=2AD-CEneq 0,，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果4AB−E2=0{displaystyle 4AB-E^{2}=0,}4AB-E^{2}=0,且DE−2CB=2AD−CE=0{displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}DE-2CB=2AD-CE=0,，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当A>0{displaystyle A>0}{displaystyle A>0}时取得最大值，A<0{displaystyle A<0}{displaystyle A<0}时取得最小值。其图像也是抛物柱面。



註釋





  1. ^ 注：自变量x{displaystyle x}x的取值范围为任何实数


  2. ^ 参见婆罗摩笈多 代数章节


  3. ^ 参见花拉子米 代数这章节


  4. ^ 参见韦达定理




参考资料





  1. ^ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 


  2. ^ 二次函数公式汇总（文档）百度文库


  3. ^ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 


  4. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程 互联网档案馆的存檔，存档日期2015-07-29.




参考书目



  • 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8

  • 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X



參見


  • 抛物线


外部連結


  • 埃里克·韦斯坦因. Quadratic. MathWorld. 




















  • 查

  • 论

  • 编


多項式

函數



  • 零次函數(常數函數)

  • 一次函數

  • 二次函數

  • 三次函數

  • 四次函數

  • 五次函數
方程


  • 一次方程

  • 二次方程

  • 三次方程

  • 四次方程

  • 五次方程

  • 六次方程

  • 七次方程

  • 八次方程

  • 九次方程
算法


  • 多项式长除法

  • 多项式最大公因子（英语：Polynomial greatest common divisor）

  • 秦九韶算法

  • 結式

  • 判别式



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