态叠加原理

在雙縫實驗裏，從光源a{displaystyle mathrm {a} }傳播出來的相干光子束，照射在一塊刻有兩條狹縫b{displaystyle mathrm {b} }和c{displaystyle mathrm {c} }的不透明擋板S2{displaystyle mathrm {S2} }。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏F{displaystyle mathrm {F} }，用來紀錄到達F{displaystyle mathrm {F} }的任何位置d{displaystyle mathrm {d} }的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏F{displaystyle mathrm {F} }的干涉圖樣。

在量子力学裏，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。^[1]:316ff

從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量A{displaystyle A}，而可觀察量A{displaystyle A}的本徵態|a1⟩{displaystyle |a_{1}rangle }、|a2⟩{displaystyle |a_{2}rangle }分別擁有本徵值a1{displaystyle a_{1}}、a2{displaystyle a_{2}}，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態|ψ⟩=c1|a1⟩+c2|a2⟩{displaystyle |psi rangle =c_{1}|a_{1}rangle +c_{2}|a_{2}rangle }也可以是這量子系統的量子態；其中，c1{displaystyle c_{1}}、c2{displaystyle c_{2}}分別為疊加態處於本徵態|a1⟩{displaystyle |a_{1}rangle }、|a2⟩{displaystyle |a_{2}rangle }的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量A{displaystyle A}，則測量獲得數值是a1{displaystyle a_{1}}或a2{displaystyle a_{2}}的機率分別為|c1|2{displaystyle |c_{1}|^{2}}、|c2|2{displaystyle |c_{2}|^{2}}，期望值為⟨ψ|A|ψ⟩=|c1|2a1+|c2|2a2{displaystyle langle psi |A|psi rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態|0⟩{displaystyle |0rangle }與|1⟩{displaystyle |1rangle }的線性疊加。這兩個基底態|0⟩{displaystyle |0rangle }、|1⟩{displaystyle |1rangle }的本徵值分別為0{displaystyle 0}、1{displaystyle 1}。

目录

• 
  1 理論
  
  
  
  • 
    1.1 電子自旋範例
    
  
  
  • 
    1.2 非相對論性自由粒子案例
    
  
  
  
  


• 
  2 參見
  


• 
  3 參考文獻
  

理論

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 |f1⟩{displaystyle |f_{1}rangle }或|f2⟩{displaystyle |f_{2}rangle } ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合|f⟩=c1|f1⟩+c2|f2⟩{displaystyle |frangle =c_{1}|f_{1}rangle +c_{2}|f_{2}rangle }，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，c1{displaystyle c_{1}}、c2{displaystyle c_{2}}是複值係數，為了歸一化|f⟩{displaystyle |frangle }，必須讓|c1|2+|c2|2=1{displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}。

假設θ{displaystyle theta }為實數，則雖然eiθ|f2⟩{displaystyle e^{itheta }|f_{2}rangle }與|f2⟩{displaystyle |f_{2}rangle }標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，|f1⟩+|f2⟩{displaystyle |f_{1}rangle +|f_{2}rangle }、|f1⟩+eiθ|f2⟩{displaystyle |f_{1}rangle +e^{itheta }|f_{2}rangle }分別標記兩種不同的量子態。但是，|f1⟩+|f2⟩{displaystyle |f_{1}rangle +|f_{2}rangle }和eiθ(|f1⟩+|f2⟩){displaystyle e^{itheta }(|f_{1}rangle +|f_{2}rangle )}都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。^[1]:317

電子自旋範例

設想自旋為1/2{displaystyle 1/2}的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態|↑⟩{displaystyle |uparrow rangle }與下旋態|↓⟩{displaystyle |downarrow rangle }，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

|ψ⟩=c↑|↑⟩+c↓|↓⟩{displaystyle |psi rangle =c_{uparrow }|uparrow rangle +c_{downarrow }|downarrow rangle }；

其中，c↑{displaystyle c_{uparrow }}、c↓{displaystyle c_{downarrow }}分別是複值係數，為了歸一化|ψ⟩{displaystyle |psi rangle }，必須讓|c↑|2+|c↓|2=1{displaystyle |c_{uparrow }|^{2}+|c_{downarrow }|^{2}=1}。

這是最一般的量子態。係數c↑{displaystyle c_{uparrow }}、c↓{displaystyle c_{downarrow }}分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

p↑=|c↑|2{displaystyle p_{uparrow }=|c_{uparrow }|^{2}}、

p↓=|c↓|2{displaystyle p_{downarrow }=|c_{downarrow }|^{2}}。

總機率應該等於1：
p=p↑+p↓=|c↑|2+|c↓|2=1{displaystyle p=p_{uparrow }+p_{downarrow }=|c_{uparrow }|^{2}+|c_{downarrow }|^{2}=1}。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

|ψ⟩=3i5|↑⟩+45|↓⟩{displaystyle |psi rangle ={3i over 5}|uparrow rangle +{4 over 5}|downarrow rangle }。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

p↑=|3i5|2=925{displaystyle p_{uparrow }=left|;{frac {3i}{5}};right|^{2}={frac {9}{25}}}、

p↓=|45|2=1625{displaystyle p_{downarrow }=left|;{frac {4}{5}};right|^{2}={frac {16}{25}}}。

再次注意到總機率應該等於1：

p=925+1625=1{displaystyle p={frac {9}{25}}+{frac {16}{25}}=1}。

非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為^[1]:331-336

−ℏ22m∇2 Ψ(r,t)=iℏ∂∂tΨ(r,t){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2} Psi (mathbf {r} ,t)=ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r} ,t)}；

其中，ℏ{displaystyle hbar }是約化普朗克常數，Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}是粒子的波函數，r{displaystyle mathbf {r} }是粒子的位置，t{displaystyle t}是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

Ψ(r,t)=ei(k⋅r−ωt){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)=e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}}；

其中，k{displaystyle mathbf {k} }是波向量，ω{displaystyle omega }是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

ℏ2k22m=ℏω{displaystyle {frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=hbar omega }。

由於粒子存在的機率等於1，波函數Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

Ψ(r,t)=1(2π)3/2∫KA(k)ei(k⋅r−ωt)dk{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)={frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int _{mathbb {K} }A(mathbf {k} )e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}mathrm {d} mathbf {k} }；

其中，積分區域K{displaystyle mathbb {K} }是k{displaystyle mathbf {k} }-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

Ψ(x,t)=12π∫−∞∞A(k) ei(kx−ω(k)t) dk{displaystyle Psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }A(k)~e^{i(kx-omega (k)t)} mathrm {d} k}；

其中，振幅A(k){displaystyle A(k)}是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

A(k)=12π∫−∞∞Ψ(x,0) e−ikxdx{displaystyle A(k)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{,infty }Psi (x,0)~e^{-ikx},mathrm {d} x}；

其中，Ψ(x,0){displaystyle Psi (x,0)}是在時間t=0{displaystyle t=0}的波函數。

所以，知道在時間t=0{displaystyle t=0}的波函數Ψ(x,0){displaystyle Psi (x,0)}，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數Ψ(x,t){displaystyle Psi (x,t)}。

參見

• 叠加原理


• 波函数

參考文獻

1. 
   ^ ^1.01.11.2 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查|isbn=值 (帮助) 
   

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• 
  Wheeler, J. A.; Zurek, W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.  已忽略文本“John Archibald Wheeler” (帮助)
  

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