拉格朗日方程式







約瑟夫·拉格朗日


拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相等於牛頓力學中的牛頓第二定律。




目录






  • 1 定義


  • 2 導引


  • 3 半完整系統


  • 4 實例


    • 4.1 自由落體


    • 4.2 具有質量的移動支撐點的簡單擺




  • 5 相關條目


  • 6 參考文獻





定義


假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：



ddt∂L∂q˙−∂L∂q=0{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q} }}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial mathbf {q} }}=mathbf {0} ,!}{frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q}}}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {mathbf {q}}}}={mathbf {0}},!；

其中，L(q, q˙, t){displaystyle {mathcal {L}}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!}mathcal{L}(mathbf{q}, dot{mathbf{q}}, t),!是拉格朗日量，q=(q1,q2,…,qN){displaystyle mathbf {q} =left(q_{1},q_{2},ldots ,q_{N}right),!}mathbf{q} = left( q_{1}, q_{2}, ldots, q_{N} right),!是廣義座標，是時間t{displaystyle t,!}t,!的函數，q˙=(q˙1,q˙2,…,q˙N){displaystyle {dot {mathbf {q} }}=left({dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{N}right),!}dot{mathbf{q}} = left( dot{q}_{1}, dot{q}_{2}, ldots, dot{q}_{N} right),!是廣義速度。



導引


在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：


設定函數y(x){displaystyle mathbf {y} (x),!}mathbf{y}(x),!和f(y, y˙, x){displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x),!：




y(x)=(y1(x), y2(x), …,yN(x)){displaystyle mathbf {y} (x)=(y_{1}(x), y_{2}(x), ldots ,y_{N}(x)),!}mathbf{y}(x)=(y_1(x), y_2 (x), ldots, y_N (x)),!、


y˙(x)=(y˙1(x), y˙2(x), …, y˙N(x)){displaystyle {dot {mathbf {y} }}(x)=({dot {y}}_{1}(x), {dot {y}}_{2}(x), ldots , {dot {y}}_{N}(x)),!}dot{mathbf{y}}(x)=(dot{y}_1(x), dot{y}_2 (x), ldots, dot{y}_N (x)),!、


f(y, y˙, x)=f(y1(x), y2(x), …, yN(x), y˙1(x), y˙2(x), …, y˙N(x), x){displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)=f(y_{1}(x), y_{2}(x), ldots , y_{N}(x), {dot {y}}_{1}(x), {dot {y}}_{2}(x), ldots , {dot {y}}_{N}(x), x),!}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x)=f(y_1(x), y_2 (x), ldots, y_N (x), dot{y}_1 (x), dot{y}_2 (x), ldots, dot{y}_N (x), x),!；


其中，x{displaystyle x,!}x,!是自變數（independent variable）。


若y(x)∈(C1[a, b])N{displaystyle mathbf {y} (x)in (C^{1}[a, b])^{N},!}mathbf{y}(x)in(C^1[a, b])^N,!使泛函J(y)=∫abf(y, y˙, x)dx{displaystyle J(mathbf {y} )=int _{a}^{b}f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)dx,!} J(mathbf{y})=int_a^bf(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x)dx,!取得局部平穩值，則在區間(a, b){displaystyle (a, b),!}(a, b),!內，歐拉-拉格朗日方程式成立：



ddx(∂∂y˙if(y, y˙, x))−∂∂yif(y, y˙, x)=0 ,i=1, 2, …, N{displaystyle {frac {d}{dx}}left({frac {partial }{partial {dot {y}}_{i}}}f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)right)-{frac {partial }{partial y_{i}}}f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)=0 ,qquad qquad qquad qquad i=1, 2, ldots , N!} frac{d}{dx}left(frac{partial}{partial dot{y}_i}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x)right) - frac{partial}{partial y_i}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x)=0 ,qquadqquadqquadqquad i=1, 2, ldots, N!。

現在，執行下述轉換：



  • 設定獨立變數x{displaystyle x,!}x,!為時間t{displaystyle t,!}t,!、

  • 設定函數yi{displaystyle y_{i},!}y_i,!為廣義坐標qi{displaystyle q_{i},!}q_i,!、

  • 設定泛函f(y, y˙, x){displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x),!為拉格朗日量L(q, q˙, t){displaystyle {mathcal {L}}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!}mathcal{L}(mathbf{q}, dot{mathbf{q}}, t),!，


則可得到拉格朗日方程式



ddt∂L∂q˙−∂L∂q=0{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q} }}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial mathbf {q} }}=mathbf {0} ,!}{frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q}}}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {mathbf {q}}}}={mathbf {0}},!。


  • 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。

  • 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。



半完整系統


主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為



gi(q, q˙)=0 ,i=1, 2, 3, …n{displaystyle g_{i}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }})=0 ,qquad qquad qquad i=1, 2, 3, dots n,!}g_i(mathbf{q}, dot{mathbf{q}})=0 ,qquadqquadqquad i=1, 2, 3, dots n,!；

則稱此系統為半完整系統[1]。


半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子λi{displaystyle lambda _{i},!}lambda_i,!：



∑i=1n λigi=0{displaystyle sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i}=0,!}sum_{i=1}^n lambda_i g_i=0,!；

其中，λi=λi(q, q˙, t){displaystyle lambda _{i}=lambda _{i}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!}lambda_i=lambda_i(mathbf{q}, dot{mathbf{q}}, t),!是未知函數。


由於這N{displaystyle N,!}N,!個廣義坐標中，有n{displaystyle n,!}n,!個相依的廣義坐標，泛函f(y, y˙, x){displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x),!不能直接被轉換為拉格朗日量L{displaystyle {mathcal {L}},!}mathcal{L},!；必須加入拉格朗日乘子，將泛函f(y, y˙, x){displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!}f(mathbf{y}, dot{mathbf{y}}, x),!轉換為L+∑i=1n λigi{displaystyle {mathcal {L}}+sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i},!}mathcal{L}+sum_{i=1}^n lambda_i g_i,!。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：



ddt∂L∂q˙−∂L∂q=F{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q} }}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial mathbf {q} }}={boldsymbol {mathcal {F}}},!}{frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q}}}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {mathbf {q}}}}={boldsymbol {{mathcal {F}}}},!；

其中，F{displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}},!}boldsymbol{mathcal{F}},!是廣義力，F=∂∂q(∑i=1n λigi)−ddt[∂∂q˙(∑i=1n λigi)]{displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}={frac {partial }{partial mathbf {q} }}left(sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i}right)-{frac {d}{dt}}left[{frac {partial }{partial {dot {mathbf {q} }}}}left(sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i}right)right],!}boldsymbol{mathcal{F}}=frac{partial}{partial mathbf{q}}left(sum_{i=1}^n lambda_i g_iright) - frac{d}{dt}left[frac{partial}{partial dot{mathbf{q}}}left(sum_{i=1}^n lambda_i g_iright)right],!。


這N{displaystyle N,!}N,!個廣義力運動方程式加上n{displaystyle n,!}n,!個約束方程式，給出N+n{displaystyle N+n,!}N+n,!個方程式來解N{displaystyle N,!}N,!個未知廣義坐標與n{displaystyle n,!}n,!個拉格朗日乘子。



實例


這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。



自由落體


思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力F=mg{displaystyle F=mg,!}F=mg,!作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式



x¨=g{displaystyle {ddot {x}}=g,!}ddot x = g,!；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。


這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能T{displaystyle T,!}T,!是



T=12mv2{displaystyle T={frac {1}{2}}mv^{2},!}T = frac{1}{2} m v^2,!，

位勢V{displaystyle V,!}V,!是



V=−mgx{displaystyle V=-mgx,!}V = - m g x,!；

所以，拉格朗日量L{displaystyle {mathcal {L}},!}mathcal{L},!是



L=T−V=12mx˙2+mgx{displaystyle {mathcal {L}}=T-V={frac {1}{2}}m{dot {x}}^{2}+mgx,!}mathcal{L} = T - V = frac{1}{2} m dot{x}^2 + m g x,! 。

將L{displaystyle {mathcal {L}},!}mathcal{L},!代入拉格朗日方程式，



0=ddt∂L∂x˙−∂L∂x=mdx˙dt−mg{displaystyle 0={frac {d}{dt}}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {x}}}}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial x}}=m{frac {d{dot {x}}}{dt}}-mg,!}0 = frac{d}{dt} frac{partial mathcal{L}}{partial dot{x}} - frac{partial mathcal{L}}{partial x}= mfrac{d dot x}{dt} - mg,!。

運動方程式是



x¨=g{displaystyle {ddot {x}}=g,!}ddot x = g,!；

與牛頓方法的運動方程式相同。



具有質量的移動支撐點的簡單擺



PendulumWithMovingSupport.JPG


思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是m{displaystyle m,!}m,!，位置是(x, y){displaystyle (x, y),!}(x, y),!。擺繩的長度是l{displaystyle l,!}l,!。擺的支撐點Q的質量是M{displaystyle M,!}M,!。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是(X, 0){displaystyle (X, 0),!}(X, 0),!。擺繩與y-軸的夾角是θ{displaystyle theta ,!}theta,!。那麼，動能是



T=12MX˙2+12m(x˙2+y˙2){displaystyle T={frac {1}{2}}M{dot {X}}^{2}+{frac {1}{2}}mleft({dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}right),!}T = frac{1}{2} M dot{X}^2 + frac{1}{2} m left( dot{x}^2 + dot{y}^2 right),!，

位勢為



V=−mgy{displaystyle V=-mgy,!}V= - mgy,!。

所以，拉格朗日量是



L=12MX˙2+12m(x˙2+y˙2)+mgy{displaystyle {mathcal {L}}={frac {1}{2}}M{dot {X}}^{2}+{frac {1}{2}}mleft({dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}right)+mgy,!}mathcal{L}=frac{1}{2}Mdot{X}^2+frac{1}{2}mleft(dot{x}^2+dot{y}^2right)+mgy,!。

兩個約束方程式為




x=X+lsin⁡θ{displaystyle x=X+lsin theta ,!}x=X+lsintheta,!、


y=lcos⁡θ{displaystyle y=lcos theta ,!}y=lcostheta,!。


將約束方程式代入拉格朗日量方程式,



L=12MX˙2+12m[(X˙+lθ˙cos⁡θ)2+(lθ˙sin⁡θ)2]+mglcos⁡θ{displaystyle {mathcal {L}}={frac {1}{2}}M{dot {X}}^{2}+{frac {1}{2}}mleft[left({dot {X}}+l{dot {theta }}cos theta right)^{2}+left(l{dot {theta }}sin theta right)^{2}right]+mglcos theta ,!}mathcal{L}=frac{1}{2} M dot{X}^2 + frac{1}{2} m left[ left( dot{X} + l dotthetacosthetaright)^2 + left( l dottheta sin theta right)^2 right]+ mglcostheta,!。

特別注意，在這裏，廣義坐標是X{displaystyle X,!}X,!與θ{displaystyle theta ,!}theta,!。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於X{displaystyle X,!}X,!坐標，可以得到



ddt[(M+m)X˙+mlθ˙cos⁡θ]=0{displaystyle {frac {d}{dt}}left[(M+m){dot {X}}+ml{dot {theta }}cos theta right]=0,!}frac{d}{dt}left[(M+m) dot{X}+mldot{theta}costhetaright]=0,!。

運動方程式為



(M+m)X¨+mlθ¨cos⁡θ−mlθ˙2sin⁡θ=0{displaystyle (M+m){ddot {X}}+ml{ddot {theta }}cos theta -ml{dot {theta }}^{2}sin theta =0,!}(M+m)ddot{X}+mlddot{theta}costheta - mldot{theta}^2sintheta = 0 ,!。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標X{displaystyle X,!}X,!，稱X{displaystyle X,!}X,!為可略坐標，而其相對應的廣義動量pX{displaystyle p_{X},!}p_X,!是常數K1{displaystyle K_{1},!}K_1,!：



pX=(M+m)X˙+mlθ˙cos⁡θ=K1{displaystyle p_{X}=(M+m){dot {X}}+ml{dot {theta }}cos theta =K_{1},!}p_X=(M+m)dot{X}+mldot{theta}costheta=K_1,!。

對於θ{displaystyle theta ,!}theta,!坐標，可以得到



ddt[m(l2θ˙+X˙lcos⁡θ)]+m(X˙lθ˙+gl)sin⁡θ=0{displaystyle {frac {d}{dt}}left[m(l^{2}{dot {theta }}+{dot {X}}lcos theta )right]+m({dot {X}}l{dot {theta }}+gl)sin theta =0,!}frac{d}{dt}left[m(l^2 dot{theta}+dot{X}lcostheta)right]+m(dot{X}ldot{theta}+gl) sintheta=0,!；

所以，運動方程式為



θ¨+X¨lcos⁡θ+glsin⁡θ=0{displaystyle {ddot {theta }}+{frac {ddot {X}}{l}}cos theta +{frac {g}{l}}sin theta =0,!}ddot{theta}+frac{ddot{X}}{l}costheta+frac{g}{l}sintheta=0,!。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。



相關條目




  • 拉格朗日量

  • 拉格朗日力學

  • 哈密頓力學

  • 牛頓力學

  • 變分法



參考文獻





  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)









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