波函数

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r{displaystyle mathbf {r} ,!} 表示；而其大小則用 r{displaystyle r,!} 來表示。

設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英语：wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種波動方程式，因此，波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。

波函數 Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)} 是一種複值函數，表示粒子在位置 r{displaystyle mathbf {r} } 、時間 t{displaystyle t} 的機率幅，它的絕對值平方 |Ψ(r,t)|2{displaystyle |Psi (mathbf {r} ,t)|^{2}} 是在位置 r{displaystyle mathbf {r} } 、時間 t{displaystyle t} 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。^[1]

波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。

目录

• 
  1 歷史
  


• 
  2 概述
  
  
  
  • 
    2.1 位置空間波函數
    
  
  
  • 
    2.2 動量空間波函數
    
  
  
  • 
    2.3 兩種波函數之間的關係
    
  
  
  
  


• 
  3 薛丁格方程式
  


• 
  4 波函数的概率诠释
  


• 
  5 波函数的本征值和本征态
  


• 
  6 态叠加原理
  


• 
  7 定态
  


• 
  8 例子
  
  
  
  • 
    8.1 自由粒子
    
  
  
  • 
    8.2 無限深方形阱
    
  
  
  • 
    8.3 有限位势垒
    
  
  
  • 
    8.4 量子点
    
  
  
  
  


• 
  9 参考文獻
  


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  10 参閱
  

歷史

路易·德布羅意

埃爾溫·薛丁格

在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。^{[2]:606–609}

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。^[3]:207他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界^{[4][5]:163-167}。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義^[3]:219-220。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。^[3]:479

1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。^[6]:344-345

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。^{[3]:196-197[7]:3}

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。^[7]:3

1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。^[5]:167

概述

在一維無限深方形阱內，粒子的能級與對應的波函數。

在一維無限深方形阱內，找到能級為 n{displaystyle n} 的粒子的機率。

位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 Ψ(x,t){displaystyle Psi (x,t)} ；其中，x{displaystyle x} 是位置，t{displaystyle t} 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 x{displaystyle x} 在區間 [a,b]{displaystyle [a,b]} （即 a≤x≤b{displaystyle aleq xleq b} ）的機率Pa≤x≤b{displaystyle P_{aleq xleq b}}為

Pa≤x≤b=∫ab|Ψ(x,t)|2dx{displaystyle P_{aleq xleq b}=int limits _{a}^{b},|Psi (x,t)|^{2}mathrm {d} x} ；

其中，t{displaystyle t} 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說，|Ψ(x,t)|2{displaystyle |Psi (x,t)|^{2}} 是粒子在位置 x{displaystyle x} 、時間 t{displaystyle t} 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：

∫−∞∞|Ψ(x,t)|2dx=1{displaystyle int limits _{-infty }^{infty },|Psi (x,t)|^{2}mathrm {d} x=1} 。

動量空間波函數

在動量空間，粒子的波函數表示為 Φ(p,t){displaystyle Phi (p,t)} ；其中，p{displaystyle p} 是一維動量，值域從 −∞{displaystyle -infty } 至 +∞{displaystyle +infty } 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 p{displaystyle p} 在區間 [a,b]{displaystyle [a,b]} （即 a≤p≤b{displaystyle aleq pleq b} ）的機率為

Pa≤p≤b=∫ab|Φ(p,t)|2dp{displaystyle P_{aleq pleq b}=int limits _{a}^{b},|Phi (p,t)|^{2}mathrm {d} p} 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：

∫−∞∞|Φ(p,t)|2dp=1{displaystyle int limits _{-infty }^{infty },left|Phi (p,t)right|^{2}mathrm {d} p=1} 。

兩種波函數之間的關係

本圖展示一維零自旋自由粒子的波函數範例，左邊是位置空間波函數 Ψ(x){displaystyle Psi (x)} 的實部（紫色）和機率密度 |Ψ(x)|2{displaystyle |Psi (x)|^{2}} （紅色），右邊是動量空間波函數 Φ(p){displaystyle Phi (p)} 的實部（金色）和機率密度 |Φ(p)|2{displaystyle |Phi (p)|^{2}} （藍色）。在x-軸的某位置 x{displaystyle x} 或p_x-軸的某動量 p{displaystyle p} 顯示出的粒子顏色的不透明度，分別表示在那位置 x{displaystyle x} 或動量 p{displaystyle p} 找到粒子的機率密度（不是波函數的機率幅）。

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為^[8]:108

Φ(p,t)=12πℏ∫−∞∞e−ipx/ℏΨ(x,t)dx{displaystyle Phi (p,t)={frac {1}{sqrt {2pi hbar }}}int limits _{-infty }^{infty },e^{-ipx/hbar }Psi (x,t)mathrm {d} x} 、

Ψ(x,t)=12πℏ∫−∞∞eipx/ℏΦ(p,t)dp{displaystyle Psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi hbar }}}int limits _{-infty }^{infty },e^{ipx/hbar }Phi (p,t)mathrm {d} p} 。

薛丁格方程式

在一維空間裏，運動於位勢 V(x){displaystyle V(x)} 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式

−ℏ22m∂2∂x2Ψ(x,t)+V(x)Ψ(x,t)=iℏ∂∂tΨ(x,t){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}Psi (x,t)+V(x)Psi (x,t)=ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (x,t)} ；

其中，m{displaystyle m} 是質量，ℏ{displaystyle hbar } 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 Ψ(x,t){displaystyle Psi (x,,t)} 的函數形式為

Ψ(x,t)=ψE(x)e−iEt/ℏ{displaystyle Psi (x,,t)=psi _{E}(x)e^{-iEt/hbar }} ；

其中，E{displaystyle E} 是分離常數，稍加推導可以論定 E{displaystyle E} 就是能量，ψE(x){displaystyle psi _{E}(x)} 是對應於 E{displaystyle E} 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

−ℏ22m∂2∂x2ψE(x)+V(x)ψE(x)=EψE(x){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi _{E}(x)+V(x)psi _{E}(x)=Epsi _{E}(x)} 。

波函数的概率诠释

波函数 Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)} 是概率波。其模的平方 |Ψ(r,t)|2{displaystyle vert Psi (mathbf {r} ,t)vert ^{2},} 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

∫|Ψ(r,t)|2d3x=1{displaystyle int vert Psi (mathbf {r} ,t)vert ^{2},d^{3},x=1} 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态

在量子力学中，可观察量 A{displaystyle A} 以算符 A^{displaystyle {hat {A}}} 的形式出现。A^{displaystyle {hat {A}}} 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 p^{displaystyle {hat {mathbf {p} }}} 的形式為

p^=−iℏ∇{displaystyle {hat {mathbf {p} }}=-ihbar nabla } 。

可观察量 A{displaystyle A} 的本徵方程式為

A^ψ=aψ{displaystyle {hat {A}}psi =apsi } 。

对应的 a{displaystyle a} 称为算符 A^{displaystyle {hat {A}}} 的本徵值，ψ{displaystyle psi } 称为算符 A^{displaystyle {hat {A}}} 的本徵態。假設對於 A^{displaystyle {hat {A}}} 的本徵態 ψ{displaystyle psi } 再測量可观察量 A{displaystyle A} ，則得到的結果是本徵值 a{displaystyle a} 。

态叠加原理

假設對於某量子系統測量可觀察量 A{displaystyle A} ，而可觀察量 A{displaystyle A} 的本徵態 |a1⟩{displaystyle |a_{1}rangle } 、|a2⟩{displaystyle |a_{2}rangle } 分別擁有本徵值 a1{displaystyle a_{1}} 、a2{displaystyle a_{2}} ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 |ψ⟩{displaystyle |psi rangle } 也可以是這量子系統的量子態：

|ψ⟩=c1|a1⟩+c2|a2⟩{displaystyle |psi rangle =c_{1}|a_{1}rangle +c_{2}|a_{2}rangle } ；

其中， c1{displaystyle c_{1}} 、c2{displaystyle c_{2}} 分別為疊加態處於本徵態 |a1⟩{displaystyle |a_{1}rangle } 、|a2⟩{displaystyle |a_{2}rangle } 的機率幅。

假設对這疊加態系統测量可观察量 A{displaystyle A} ，則測量獲得數值是 a1{displaystyle a_{1}} 或 a2{displaystyle a_{2}} 的機率分別為 |c1|2{displaystyle |c_{1}|^{2}} 、|c2|2{displaystyle |c_{2}|^{2}} ，期望值為

⟨ψ|A|ψ⟩=|c1|2a1+|c2|2a2{displaystyle langle psi |A|psi rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}} 。

定态

描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 ψN=(ψ0+ψ1)/2{displaystyle psi _{N}=(psi _{0}+psi _{1})/{sqrt {2}}} 。

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 H^{displaystyle {hat {H}}} 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 Ψ(r,t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)} 分離成一个只与位置有关的函数 ψ(r){displaystyle psi (mathbf {r} )} 和一个只与时间有关的函数 f(t){displaystyle f(t)} ：

Ψ(r,t)=ψ(r)f(t){displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)=psi (mathbf {r} )f(t)} 。

將這公式代入薛定谔方程，就会得到

f(t)=exp⁡(−iEt/ℏ){displaystyle f(t)=exp {(-iEt/hbar )}} 。

而 ψ(r){displaystyle psi (mathbf {r} )} 则满足本徵能量薛丁格方程式：

H^ψ(r)=Eψ(r){displaystyle {hat {H}}psi (mathbf {r} )=Epsi (mathbf {r} )} 。

例子

自由粒子

主条目：自由粒子

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为：

Ψ(r,t)=Aei(k⋅r−ωt).{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)=Ae^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)},.}

無限深方形阱

主条目：無限深方形阱

粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为:^[8]:30-38

Ψ(x,t)=2Lsin⁡(nπxL)e−iωnt,0≤x≤LΨ(x,t)=0,x<0,x>L{displaystyle {begin{aligned}Psi (x,t)&={sqrt {frac {2}{L}}}sin left({frac {npi x}{L}}right)e^{-iomega _{n}t},&quad 0leq xleq L\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\end{aligned}}}

其中，ℏωn=n2h28mL2{displaystyle hbar omega _{n}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}是能量本徵值，n{displaystyle n}是正整數，m{displaystyle m}是質量。

有限位势垒

主条目：有限位势垒和量子穿隧效應

对于一个垒高为 V₀ 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

V(x)={V0|x|<a0otherwise,{displaystyle V(x)={begin{cases}V_{0}&|x|<a\0&{text{otherwise,}}end{cases}}}

其波函数的定态解为(k,κ{displaystyle k,kappa }为常数)

ψ(x)={Arexp⁡(ikx)+Alexp⁡(−ikx)x<−a,Brexp⁡(κx)+Blexp⁡(−κx)|x|≤a,Crexp⁡(ikx)+Clexp⁡(−ikx)x>a.{displaystyle psi (x)={begin{cases}A_{mathrm {r} }exp(ikx)+A_{mathrm {l} }exp(-ikx)&x<-a,\B_{mathrm {r} }exp(kappa x)+B_{mathrm {l} }exp(-kappa x)&|x|leq a,\C_{mathrm {r} }exp(ikx)+C_{mathrm {l} }exp(-ikx)&x>a.end{cases}}}

量子点

量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道和p轨道。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

参考文獻

1. 
   ^ Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211). doi:10.1119/1.4789885. 
   


2. 
   ^
   Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 
   


3. 
   ^ ^3.03.13.23.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 （英语） 
   


4. 
   ^ 薛定諤, 埃尔温, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926 
   [德文原稿]
   


5. 
   ^ ^5.05.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523. 
   


6. 
   ^ Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594. 
   


7. 
   ^ ^7.07.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528. 
   


8. 
   ^ ^8.08.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
   

参閱

• 波包

查 论 编 量子力学 入门 · 數學表述 · 歷史 基础 狄拉克符號 波函數 量子態 態向量 態疊加原理 不确定性原理 波粒二象性 互補原理 埃倫費斯特定理 泡利不相容原理 量子纠缠 量子退相干 量子穿隧效應 量子測量 爱波罗佯谬 贝尔不等式 密度矩阵 表述 數學表述 薛丁格繪景 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 求和的歷史（路径积分） 相空间表述 方程 薛定谔方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 詮釋 量子力學詮釋 哥本哈根詮釋 系綜詮釋 隱變量理論 客觀坍縮理論 德布罗意-玻姆理论 多世界詮釋 一致性歷史 關係性量子力學 交易詮釋 实验 阿弗沙爾實驗 貝爾定理的實驗驗證 波普爾實驗 戴維森－革末實驗 馬赫-曾德爾干涉儀 光电效应 量子擦除實驗 墨子号卫星 施特恩－格拉赫实验 雙縫實驗 薛定谔猫 伊利澤-威德曼炸彈 惠勒延迟选择实验 物理學者 普朗克 玻尔 埃倫費斯特 海森堡 薛丁格 德布羅意 玻恩 愛因斯坦 艾弗雷特 索末菲 馮·诺伊曼 費曼 狄拉克 泡利 維恩 阿哈罗诺夫 玻姆 貝爾 蔡林格 交叉領域 半經典物理學 量子生物学 量子化学 介觀物理學 量子宇宙學 量子群 量子时空（英语：Quantum spacetime） 量子光学 量子混沌（英语：Quantum chaos） 技术應用（英语：Quantum technology） 量子線路 量子复杂性理论 量子计算机 量子密碼學 量子閘 量子邏輯（英语：Quantum logic） 量子信息学 量子密鑰分發 量子网络 量子隱形傳態 進階研究 相对论量子力学 量子场论 量子引力 分类 Portal:物理学 维基共享

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