水仙花数








在数论中，水仙花数（Narcissistic number）[1][2]，也被稱為超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）[3]、自戀數、自幂數、阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數（Armstrong number）[4] ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。




目录






  • 1 水仙花数的定义


  • 2 部分水仙花数


    • 2.1 十進制下的水仙花数


    • 2.2 十二進制下的水仙花數




  • 3 参考资料





水仙花数的定义


设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1 ，则有：



n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果该自然数n满足条件：



n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。
例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：



153 = 13 + 53 + 33。

370 = 33 + 73 + 03。

371 = 33 + 73 + 13。

407 = 43 + 03 + 73。


若將條件放寬，一個N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant）[5][2]，例如數字4150等於各位數字的5次方。


4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

水仙花数一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花数。
严格意义来说水仙花数指三位数。



部分水仙花数



十進制下的水仙花数


十进制的水仙花數共有89個，最大的是


115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位數。


完整的十进制水仙花数列表如下：（OEIS中的数列A005188）



  1. 0

  2. 1

  3. 2

  4. 3

  5. 4

  6. 5

  7. 6

  8. 7

  9. 8

  10. 9

  11. 153

  12. 370

  13. 371

  14. 407

  15. 1634

  16. 8208

  17. 9474

  18. 54748

  19. 92727

  20. 93084

  21. 548834

  22. 1741725

  23. 4210818

  24. 9800817

  25. 9926315

  26. 24678050

  27. 24678051

  28. 88593477

  29. 146511208

  30. 472335975

  31. 534494836

  32. 912985153

  33. 4679307774

  34. 32164049650

  35. 32164049651

  36. 40028394225

  37. 42678290603

  38. 44708635679

  39. 49388550606

  40. 82693916578

  41. 94204591914

  42. 28116440335967

  43. 4338281769391370

  44. 4338281769391371

  45. 21897142587612075

  46. 35641594208964132

  47. 35875699062250035

  48. 1517841543307505039

  49. 3289582984443187032

  50. 4498128791164624869

  51. 4929273885928088826

  52. 63105425988599693916

  53. 128468643043731391252

  54. 449177399146038697307

  55. 21887696841122916288858

  56. 27879694893054074471405

  57. 27907865009977052567814

  58. 28361281321319229463398

  59. 35452590104031691935943

  60. 174088005938065293023722

  61. 188451485447897896036875

  62. 239313664430041569350093

  63. 1550475334214501539088894

  64. 1553242162893771850669378

  65. 3706907995955475988644380

  66. 3706907995955475988644381

  67. 4422095118095899619457938

  68. 121204998563613372405438066

  69. 121270696006801314328439376

  70. 128851796696487777842012787

  71. 174650464499531377631639254

  72. 177265453171792792366489765

  73. 14607640612971980372614873089

  74. 19008174136254279995012734740

  75. 19008174136254279995012734741

  76. 23866716435523975980390369295

  77. 1145037275765491025924292050346

  78. 1927890457142960697580636236639

  79. 2309092682616190307509695338915

  80. 17333509997782249308725103962772

  81. 186709961001538790100634132976990

  82. 186709961001538790100634132976991

  83. 1122763285329372541592822900204593

  84. 12639369517103790328947807201478392

  85. 12679937780272278566303885594196922

  86. 1219167219625434121569735803609966019

  87. 12815792078366059955099770545296129367

  88. 115132219018763992565095597973971522400

  89. 115132219018763992565095597973971522401



十二進制下的水仙花數


（OEIS中的数列A161949）




25:22+52=25


A5:A2+52=A5

577:53+73+73=577

668:63+63+83=668

A83:A3+83+33=A83

14765:15+45+75+65+55=14765

938A4:95+35+85+A5+45=938A4


顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。




  • 三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122


  • 四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313



参考资料





  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Narcissistic Number. MathWorld. 


  2. ^ 2.02.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的存檔，存档日期2007-10-10. by Scott Moore


  3. ^ PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz


  4. ^ Armstrong Numbersl[永久失效連結] by Dik T. Winter


  5. ^ PDIs by Harvey Heinz



.mw-parser-output .refbegin{font-size:90%;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{list-style-type:none;margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>dl>dd{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em;list-style:none}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}


  • Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.


  • Perfect Digital Invariants by Walter Schneider


  • On a curious property of 3435 by Daan van Berkel








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