表示式

表示式亦称表达式、运算式或数学表达式，在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定数字（常量）、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。

目录

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  1 范例
  


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  2 各種表達式的分類列表
  


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  3 語法與語義
  
  
  
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    3.1 語法
    
  
  
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    3.2 語義
    
  
  
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    3.3 形式語言和lambda演算
    
  
  
  
  


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  4 變量
  


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  5 參見
  


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  6 外部連結
  

范例

表达式的使用范围从简单的如下列各例：

0+0{displaystyle 0+0}

8x−5{displaystyle 8x-5}   （线性多项式）

7x2+4x−10{displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}   （二次多项式）

x−1x2+12{displaystyle {frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}   （有理分数）

到很复杂的组合表达式：

f(a)+∑k=1n1k!dkdtk|t=0f(u(t))+∫01(1−t)nn!dn+1dtn+1f(u(t))dt.{displaystyle f(a)+sum _{k=1}^{n}left.{frac {1}{k!}}{frac {d^{k}}{dt^{k}}}right|_{t=0}f(u(t))+int _{0}^{1}{frac {(1-t)^{n}}{n!}}{frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t)),dt.}

各種表達式的分類列表

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。

查 论 编	算術	多項式	代數	閉合形式	解析	數學式
常量	是	是	是	是	是	是
變數	是	是	是	是	是	是
四则运算	是	是	是	是	是	是
階乘	是	是	是	是	是	是
整數指數冪	否	是	是	是	是	是
N次方根	否	否	是	是	是	是
有理數冪	否	否	是	是	是	是
實數指數冪	否	否	否	是	是	是
對數	否	否	否	是	是	是
三角函數	否	否	否	是	是	是
反三角函数	否	否	否	是	是	是
双曲函数	否	否	否	是	是	是
反双曲函数	否	否	否	是	是	是
Γ函数	否	否	否	否	是	是
Bessel函数	否	否	否	否	是	是
特殊函數	否	否	否	否	是	是
连分数	否	否	否	否	是	是
級數	否	否	否	否	是	是
形式幂级数	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
極限	否	否	否	否	否	是
積分	否	否	否	否	否	是

語法與語義

語法

表達式是一個句法結構，它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數，組成這些輸入的字符必須是有效的，具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符，不會構成有效的數學表達式。例如，在一般算術符號中，表達式1 + 2 × 3是形式良好的，但下面的表達式卻沒有：

×4)x+,/y{displaystyle times 4)x+,/y}.

語義

表達式的語義是對語句意義的研究，邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中，可用表達式指定一個值；而這個結果值取決於對式中變量所賦予的值，經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式1 + 2 × 3可能會有不同結果（依算數慣例的結果為7，也可能是9），這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值（例如，當它們除以0時）；對這表達式稱為未定義，但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說，表達式的意義並不侷限於指定值；例如，表達式可用於指定條件，表示要被求解的方程，或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提，例如與⊕{displaystyle oplus }運算符有關的假設前提，會指定一個內部的直接和(direct sum)。

形式語言和lambda演算

表示式和其賦值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其λ{displaystyle lambda }演算中被公式化。λ{displaystyle lambda }演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

λ{displaystyle lambda }演算有著一個更有趣的推論，在某些情況之下，兩個表示式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和λ{displaystyle lambda }演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

變量

許多數學表達式中包括變量，變量又區分為自由變量或約束變量兩種。對於自由變量賦值的一給定組合，進行對表達式的評估，然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果，可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數，其輸入是賦予自由變量的值，其輸出是表達式的結果值。

舉例來說，表示式xy{displaystyle {frac {x}{y}}}，分別使自由變數x{displaystyle x}和y{displaystyle y}定值為10{displaystyle 10}和5{displaystyle 5}，其輸出為數字2{displaystyle 2}；

但注意在y{displaystyle y}值為0{displaystyle 0}時，則這表示式沒有定義。

數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義，賦值的定义域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變量，對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出，則這兩個表達式被認定為相等，即它們實為相同的函數。

例如，表示式∑n=132nx{displaystyle sum _{n=1}^{3}2nx}有自由變數x{displaystyle x}、約束變數n{displaystyle n}、常數1,2,3{displaystyle 1,2,3}、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。

此一表示式和另一較簡單的表示式12x{displaystyle 12x}相等。x=3{displaystyle x=3}時的值為36{displaystyle 36}。

參見

• 表示式 (程式)


• 代数闭包


• 組合子邏輯


• 函數式編程


• 方程


• 不等

外部連結

• 
  Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.


• 
  Plot mathematical expressions this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.

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