Mixing
范数
擁有不同範數的單位圓
範數（英语：norm），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（英语：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。
舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。
目录
1 定義
2 例子
2.1 绝对值范数
2.2 欧几里德范数
2.2.1 复数的欧几里得范数
3 參見
4 參考文獻
定義
假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數p:V→R;x↦p(x){displaystyle p:Vto mathbb {R} ;xmapsto {}p(x)}
∀a∈F,∀u,v∈V{displaystyle forall ain F,forall u,vin V}
p(v)≥0{displaystyle p(v)geq 0}（具有半正定性）
p(av)=|a|p(v){displaystyle p(av)=|a|p(v)}（具有绝对一次齐次性）
p(u+v)≤p(u)+p(v){displaystyle p(u+v)leq p(u)+p(v)}（满足三角不等式）
範數是一個半範數加上額外性质：
- 4. p(v)=0{displaystyle p(v)=0}
,当且仅当v{displaystyle v}
是零向量（正定性）
如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。
例子
- 所有范数都是半范数。
平凡半范数,即p(x)=0,∀x∈V{displaystyle p(x)=0,forall xin V}。
绝对值是实数集上的一个范数。- 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数：x→|f(x)|{displaystyle {boldsymbol {x}}to |f({boldsymbol {x}})|}
。
绝对值范数
绝对值
- ‖x‖=|x|{displaystyle |{boldsymbol {x}}|=|x|}
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。
绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。
欧几里德范数
在n维欧几里德空间Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
- ‖x‖2:=x12+⋯+xn2.{displaystyle |{boldsymbol {x}}|_{2}:={sqrt {x_{1}^{2}+cdots +x_{n}^{2}}}.}
根据勾股定理，它给出了从原点到点x{displaystyle {boldsymbol {x}}}
在一个n维复数空间Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}
- ‖z‖:=|z1|2+⋯+|zn|2=z1z¯1+⋯+znz¯n.{displaystyle |{boldsymbol {z}}|:={sqrt {|z_{1}|^{2}+cdots +|z_{n}|^{2}}}={sqrt {z_{1}{bar {z}}_{1}+cdots +z_{n}{bar {z}}_{n}}}.}
以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：
- ‖x‖:=x∗x,{displaystyle |{boldsymbol {x}}|:={sqrt {{boldsymbol {x}}^{*}{boldsymbol {x}}}},}
其中x是一个列向量([x1,x2,…,xn]T{displaystyle [x_{1},x_{2},,ldots ,,x_{n}]^{mathrm {T} }}![{displaystyle [x_{1},x_{2},,ldots ,,x_{n}]^{mathrm {T} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6963dc3554a2f438e130cc49c7400fd216765a5a)
以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：
- ‖x‖:=x⋅x.{displaystyle |{boldsymbol {x}}|:={sqrt {{boldsymbol {x}}cdot {boldsymbol {x}}}}.}
特别地，Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}
复数的欧几里得范数
如果将复平面看作欧几里得平面R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
參見
- 內積
- 賦範向量空間
- 矩陣範數
- 曼哈頓距離
參考文獻
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Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.
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