反函數

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裡，反函數為對一給定函數做逆運算的函數。精确定义为，設f{displaystyle f}為一函數，其定義域為X{displaystyle X}，值域為Y{displaystyle Y}。如果存在一函數g{displaystyle g}，其定義域和值域分別為Y,X{displaystyle Y,,X}，並對每一x∈X{displaystyle xin X}有：
g(f(x))=x{displaystyle g(f(x))=x,}
則稱g{displaystyle g}為f{displaystyle f}的反函數，記之為f−1{displaystyle f^{-1}}。注意上標「−1」指的並不是冪，跟在三角學裡特指sin⁡x{displaystyle sin x}平方的sin2⁡x{displaystyle sin ^{2}x}不同。
例如，若給定一函數f:x↦3x+2{displaystyle f:xmapsto 3x+2}，則其反函數為f−1:x↦x−23{displaystyle f^{-1}:xmapsto {frac {x-2}{3}}}。
若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

目录

• 
  1 簡單規則
  


• 
  2 存在性
  


• 
  3 性質
  


• 
  4 另見
  

簡單規則

一般而言，當f(x){displaystyle f(x)}為一任意函數，且g{displaystyle g}為其反函數，則g(f(x))=x{displaystyle g(f(x))=x}，f(g(y))=y{displaystyle f(g(y))=y}。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明f−1{displaystyle f^{-1}}確為反函數，以將x−23{displaystyle {frac {x-2}{3}}}代入f{displaystyle f}的方式，如此

3×x−23+2=x{displaystyle 3times {frac {x-2}{3}}+2=x}。

類似地，也可以將f{displaystyle f}代入f−1{displaystyle f^{-1}}來證明。

確實，f{displaystyle f}的反函數g{displaystyle g}的一等價定義，就是g∘f{displaystyle gcirc f}為於f{displaystyle f}定義域上的恆等函數，且f∘g{displaystyle fcirc g}為f{displaystyle f}值域上的恆等函數。（其中的"o"表示函數複合）

存在性

如果一函數f{displaystyle f}有反函數，f{displaystyle f}必須是一雙射函數，即：

• 
  單射：陪域上的每一元素都只被f{displaystyle f}映射至多一次。


• 
  滿射：陪域上的每一元素都必須被f{displaystyle f}映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義f{displaystyle f}的反函數。

設f{displaystyle f}為一实函数。若f{displaystyle f}有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在f{displaystyle f}圖上的水平線y=k{displaystyle y=k}必對所有實數k{displaystyle k}，至多通過一次。換言之，當k{displaystyle k}位於f{displaystyle f}的值域時，y=k{displaystyle y=k}恰好通過f圖一次。

性質

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。


• 原函数与其反函数的函数图像关于函数y=x{displaystyle y=x}的图像对称。


• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。


• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如y=x−3{displaystyle y=x^{-3}}
  

另見

• 值域


• 逆關係


• 反函数定理

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