自由對象





在數學中，自由對象是抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構（帶有限操作）而言，它也屬泛代數的一支，例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。



自由函子


範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇C{displaystyle {mathcal {C}}}mathcal{C}。其上具有一個遺忘函子U:C→Set{displaystyle U:{mathcal {C}}to mathbf {Set} }{displaystyle U:{mathcal {C}}to mathbf {Set} }，此函子將一個對象映至其下的集合；換言之，此函子「遺忘」所有代數操作。


若U{displaystyle U}U有左伴隨函子F:Set→C{displaystyle F:mathbf {Set} to {mathcal {C}}}{displaystyle F:mathbf {Set} to {mathcal {C}}}，則稱之為C{displaystyle {mathcal {C}}}mathcal{C}的自由函子。F(X){displaystyle F(X)}F(X)可以設想為由集合X{displaystyle X}X生成的自由對象，此時也有映射X→F(X){displaystyle Xto F(X)}{displaystyle Xto F(X)}（在此濫用了符號：其實F(X){displaystyle F(X)}F(X)是個代數結構，而X{displaystyle X}X卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。


對於更一般的遺忘函子，也能考慮相應的自由函子，例如從k{displaystyle k}k-向量空間映至其張量代數的函子，便是從k{displaystyle k}k-代數映至k{displaystyle k}k-向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下，張量代數有時也稱為自由代數。



例子



  • 自由半群

  • 自由么半群

  • 自由群

  • 自由阿貝爾群

  • 自由模

  • 自由格

  • 自由代數























  • 查

  • 论

  • 编



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