度量张量

在黎曼幾何裡面，度量張量（英語：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

當选定一個局部坐標系統xi{displaystyle x^{i}}，度量張量為二階張量一般表示為 ds2=∑ijgijdxidxj{displaystyle textstyle ds^{2}=sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}，也可以用矩陣 (gij){displaystyle (g_{ij})} 表示，記作為G或g。而 gij{displaystyle g_{ij}} 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

a{displaystyle a} 到 b{displaystyle b} 的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

L=∫ab∑ijgijdxidtdxjdtdt{displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}}dt}

兩個切向量的夾角 θ{displaystyle theta },設向量 U=∑iui∂∂xi{displaystyle textstyle U=sum _{i}u^{i}{partial over partial x_{i}}} 和 V=∑ivi∂∂xi{displaystyle textstyle V=sum _{i}v^{i}{partial over partial x_{i}}}，定義為：

cos⁡θ=⟨u,v⟩|u||v|=∑ijgijuivj|∑ijgijuiuj||∑ijgijvivj|{displaystyle cos theta ={frac {langle u,vrangle }{|u||v|}}={frac {sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{sqrt {left|sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}right|left|sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}right|}}}}

若 f{displaystyle f} 為Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} 到 Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 G{displaystyle G}，由以下方程式計算得出：

G=JTJ{displaystyle G=J^{T}J}

J{displaystyle J} 表示 f{displaystyle f} 的雅可比矩阵，它的轉置为 JT{displaystyle J^{T}}。著名例子有 R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} 之間從極座標 (r,θ){displaystyle (r,theta )} 到直角座標 (x,y){displaystyle (x,y)} 的座標變換，在這例子裡有：

x=rcos⁡θ{displaystyle x=rcos theta }

y=rsin⁡θ{displaystyle y=rsin theta }

這映射的雅可比矩陣為

J=[cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ].{displaystyle J={begin{bmatrix}cos theta &-rsin theta \sin theta &rcos theta end{bmatrix}}.}

所以

G=(gij)=JTJ=[cos2⁡θ+sin2⁡θ−rsin⁡θcos⁡θ+rsin⁡θcos⁡θ−rcos⁡θsin⁡θ+rcos⁡θsin⁡θr2sin2⁡θ+r2cos2⁡θ]=[100r2] {displaystyle G=(g_{ij})=J^{mathrm {T} }J={begin{bmatrix}cos ^{2}theta +sin ^{2}theta &-rsin theta cos theta +rsin theta cos theta \-rcos theta sin theta +rcos theta sin theta &r^{2}sin ^{2}theta +r^{2}cos ^{2}theta end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0\0&r^{2}end{bmatrix}} }

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ds2=dr2+r2dθ2{displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}dtheta ^{2}}，一致。

例子

歐幾里德幾何度量

二維歐幾里德度量張量：

(gij)=[1001]{displaystyle (g_{ij})={begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}}

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

L=∫ab(dx1dt)2+(dx2dt)2dt{displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {left({frac {dx^{1}}{dt}}right)^{2}+left({frac {dx^{2}}{dt}}right)^{2}}}mathrm {d} t}

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：(x1,x2)=(r,θ){displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,theta )}

(gij)=[100(x1)2]{displaystyle (g_{ij})={begin{bmatrix}1&0\0&(x^{1})^{2}end{bmatrix}}}

圓柱坐標系：(x1,x2,x3)=(r,θ,z){displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,theta ,z)}

(gij)=[1000(x1)20001]{displaystyle (g_{ij})={begin{bmatrix}1&0&0\0&(x^{1})^{2}&0\0&0&1end{bmatrix}}}

球坐標系：(x1,x2,x3)=(r,ϕ,θ){displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,phi ,theta )}

(gij)=[1000(x1)2000(x1sin⁡x2)2]{displaystyle (g_{ij})={begin{bmatrix}1&0&0\0&(x^{1})^{2}&0\0&0&(x^{1}sin x^{2})^{2}end{bmatrix}}}

平面闵可夫斯基空间：(x0,x1,x2,x3)=(ct,x,y,z){displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z),}

(gμν)=(ημν)≡[−1000010000100001]{displaystyle (g_{mu nu })=(eta _{mu nu })equiv {begin{bmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}}}

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

(gμν)=(ημν)≡[10000−10000−10000−1]{displaystyle (g_{mu nu })=(eta _{mu nu })equiv {begin{bmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{bmatrix}}}

參看

• 偽黎曼度量

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