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杨辉三角形
《永乐大典》一页：杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形
帕斯卡三角形，又称賈憲三角形、杨辉三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式係數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下：
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
１ ６ 15 20 15 ６ １
１ ７ 21 35 35 21 ７ １
１ ８ 28 56 70 56 28 ８ １
杨辉三角形第 n{displaystyle n}
目录
1 性質
2 歷史
2.1 中国数学家的研究
3 一個數在杨辉三角出現的次數
4 编程语言实现
4.1 Go
5 参考文献
6 外部連結
7 参见
性質
每個數是它左上方和右上方的數的和
- 楊輝三角以正整數構成，數字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
- 楊輝三角每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
- 楊輝三角每一行的和是2的冪。
- 楊輝三角可以計算樂透彩券的組合數。
- 第 n{displaystyle n}
- 第 n{displaystyle n}
個數字為組合數 Cn−1k−1{displaystyle C_{n-1}^{k-1}}
。
- 第 n{displaystyle n}
。
- 除每行最左側與最右側的數字以外，每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和（也就是說，第 n{displaystyle n}
行的第 k−1{displaystyle k-1}
個數字與第 k{displaystyle k}
。可用此性质写出整个楊輝三角形。
歷史
朱世杰《四元玉鉴》中的「古法七乘方圖」
波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以借助這個三角形找n{displaystyle n}
11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。[2]贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。
13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》[3]。
1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》[4]。
意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（lolis
Lolisl
LolislTriangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：
- Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世紀（图文无存）
- 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
- 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
- 阿皮亚纳斯 德国 1527
- 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
- 薛贝尔 法国 1545
- B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
中国数学家的研究
中国贾宪是贾宪三角的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，朱世杰称之为“古法七乘方图”（1303年），明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明王文素《算学宝鉴》称之为“开方本源图”（1524年）；明代程大位《算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。
清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。[5]。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》[6]，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之[7]。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。[8][9]。
一個數在杨辉三角出現的次數
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）
- 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
- 只有2出現剛好一次。
- 6,20,70等出現三次。
- 出現兩次和四次的數很多。
- 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
120,210,1540等出現剛好六次。（OEIS:A098565）
- 因為丟番圖方程
(n+1k+1)=(nk+2),{displaystyle {n+1 choose k+1}={n choose k+2},}
有無窮個解[10]，所以出現至少六次的數有無窮多個。 - 其解答，是
- 因為丟番圖方程
n=F2i+2F2i+3−1,{displaystyle n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,,}
k=F2iF2i+3−1,{displaystyle k=F_{2i}F_{2i+3}-1,,}
- 其中Fn{displaystyle F_{n}}
表示第n{displaystyle n}
）。
- 其中Fn{displaystyle F_{n}}
- 3003是第一個出現八次的數。
编程语言实现
Go
1 package main
2
3 import "fmt"
4
5 //行数
6 const LINES int = 10
7
8 //杨辉三角
9 func ShowYangHuiTriangle() {
10 nums := int{}
11 for i := 0; i < LINES; i++ {
12 //补空白
13 for j := 0; j < (LINES - i); j++ {
14 fmt.Print(" ")
15 }
16
17 for j := 0; j < (i + 1); j++ {
18 var length = len(nums)
19 var value int
20
21 if j == 0 || j == i {
22 value = 1
23 } else {
24 value = nums[length-i] + nums[length-i-1]
25 }
26 nums = append(nums, value)
27 //每个数字后面加空格以间隔数字.
28 fmt.Print(value, " ")
29 }
30 fmt.Println("")
31 }
32 }
33 func main() {
34 ShowYangHuiTriangle()
35 }
参考文献
^ Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.
^ 郭书春著 《中国科学技术史·数学卷》第十五章 《唐中叶至元中叶熟悉概论》第357页 （贾宪）创造《开发作法本源》即贾宪三角 科学出版社 2010
^ 《永乐大典》卷一万六千三百四十四
^ 朱世杰 原著 李兆华校证 《四元玉鉴校证》卷首《古法七乘方图》 第58页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
^ 李俨 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷6，215-230页
^ 华罗庚著 《从杨辉三角谈起》 《数学通报丛书》科学出版社 1956年10月
^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》422页 第十八章第二节 《贾宪三角》，科学出版社 2010
^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 704页
^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》 第十八章第二节 《贾宪三角》，科学出版社 2010
^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.
外部連結
- 巴斯卡三角形
参见
贾宪、杨辉
- 莱布尼茨三角形
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