Mixing
欧几里得空间
三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定。
欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n{displaystyle n}
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），
希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。
尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。
另存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
目录
1 直觉概述
2 實數坐標空間
3 歐幾里得結構
4 欧氏拓扑
5 与流形的关系
6 相关条目
7 引用
直觉概述
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。（参见欧几里得群）。
为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。有着:
- 在这个向量空间中的向量对应于在欧几里得平面中的点，
- 在向量空间中的加法运算对应于平移，
- 内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。
一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分，词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的数学家也一样）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。
實數坐標空間
以R{displaystyle mathbb {R} }
Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
- x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn){displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},ldots ,x_{n}+y_{n})}
- ax=(ax1,ax2,…,axn){displaystyle a,mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},ldots ,ax_{n})}
通常引入實數坐標空間Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
- e1=(1,0,…,0){displaystyle mathbf {e} _{1}=(1,0,ldots ,0)}
- e2=(0,1,…,0){displaystyle mathbf {e} _{2}=(0,1,ldots ,0)}
- ⋮{displaystyle vdots }
- en=(0,0,…,1){displaystyle mathbf {e} _{n}=(0,0,ldots ,1)}
於是Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
- x=∑i=1nxiei{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {e} _{i}}
n維實數坐標空間是實n維向量空間的原型。事實上，每一个n維向量空間V {displaystyle V }
歐幾里得結構
至於歐幾里得空間，則是在Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
為了做歐氏幾何，人们希望能討論兩點間的距離，直線或向量間的夾角。一個自然的方法是在Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
<x,y>=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn{displaystyle <mathbf {x} ,mathbf {y} >=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}}。
也就是說，Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
我們把Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
利用這個內積，可以建立距離、長度、角度等概念：
- 向量x{displaystyle mathbf {x} }
- ‖x‖=<x,x>=∑i=1n(xi)2{displaystyle |mathbf {x} |={sqrt {<mathbf {x} ,mathbf {x} >}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}}
這裡的長度函数滿足範數所需的性質，故又稱為Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
x{displaystyle mathbf {x} }
- θ=cos−1(<x,y>‖x‖‖y‖){displaystyle theta =cos ^{-1}left({frac {<mathbf {x} ,mathbf {y} >}{|mathbf {x} ||mathbf {y} |}}right)}
這裡的cos−1{displaystyle cos ^{-1}}
- 最后，可以利用歐氏範數來定義Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2{displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}。
這個距離函數稱為歐幾里得度量，它可以看作勾股定理一種形式。
這裡的Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
欧氏拓扑
因为欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间。En{displaystyle mathbb {E} ^{n}}
关于Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
与流形的关系
在现代数学中，欧几里得空间形成了其他更加复杂的几何对象的原型。特别是流形，它是逻辑上同胚于欧几里得空间的豪斯多夫拓扑空间。
n{displaystyle n}
欧氏空间也被理解为线性流形。一个Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
一般的说，流形的概念包含了欧几里得几何和非欧几里得几何二者。在这个观点上，欧几里得空间的根本性质为它是平坦的，也就是非弯曲的。现代物理学特别是相对论，展示我们的宇宙不是真正的欧几里得时空。尽管这在理论上甚至在某些实际问题如全球定位系统和航空中是重要的，欧几里得模型仍足够精确的用于大多数其他实际问题。
相关条目
- 欧几里得几何
- 欧几里得距离
- 閔可夫斯基時空
- 黎曼几何
引用
Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90125-1.
Munkres, James. Topology. Prentice-Hall. 1999. ISBN 978-0-13-181629-9.
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