子集

A是B的子集

子集，為某個集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。

若A{displaystyle A}和B{displaystyle B}为集合，且A{displaystyle A}的所有元素都是B的元素，则有：

• 
  A{displaystyle A}是B{displaystyle B}的子集（或称包含于B{displaystyle B}）；


• 
  A⊆B{displaystyle Asubseteq B}；


• 
  B{displaystyle B}是A{displaystyle A}的父集/超集（或称包含A{displaystyle A}）；


• 
  B⊇A{displaystyle Bsupseteq A}.

所有集合B{displaystyle B}都是其本身的子集。
不等于B{displaystyle B}的B{displaystyle B}的子集称为真子集。
若A{displaystyle A}是B{displaystyle B}的真子集，则写作A⊊B{displaystyle Asubsetneq B}。
"是……的子集"的关系称为包含。

目录

• 
  1 定义
  


• 
  2 符号
  


• 
  3 举例
  


• 
  4 性质
  


• 
  5 參考文獻
  


• 
  6 参见
  

定义

假设有A{displaystyle A}和B{displaystyle B}两个集合，如果A{displaystyle A}中的每个元素都是B{displaystyle B}的元素，则：

• 
  A{displaystyle A}是B{displaystyle B}的 子集，记作 A⊆B{displaystyle Asubseteq B}
  

也可以说

• 
  B{displaystyle B}是A{displaystyle A}的 超集，记作 B⊇A{displaystyle Bsupseteq A}
  

如果A{displaystyle A}是B{displaystyle B}的子集，但A{displaystyle A}不等于B{displaystyle B}（即B{displaystyle B}中至少存在一个元素不在A{displaystyle A}集合中），则：

• 
  A{displaystyle A}是B{displaystyle B}的 真子集，记作 A⊊B{displaystyle Asubsetneq B}
  

也可以说

• 
  B{displaystyle B}是A{displaystyle A} 的 真超集，记作 B⊋A{displaystyle Bsupsetneq A}
  

符号

符号⊆{displaystyle subseteq }表示任何子集关系，符号⊊{displaystyle subsetneq }表示真子集关系。⊂{displaystyle subset }也是一个很常見的符号，但其含义容易混淆。

有人用⊂{displaystyle subset }和⊃{displaystyle supset }表示任何子集和超集关系，即⊆{displaystyle subseteq }和⊇{displaystyle supseteq }所分别代表的含义。^[1][2][3]所以在这些作者的文章中，对于任意集合A{displaystyle A}，A⊂A{displaystyle Asubset A} 始终成立。

也有人用⊂{displaystyle subset }和⊃{displaystyle supset }表示真子集和真超集的概念，即⊊{displaystyle subsetneq }和⊋{displaystyle supsetneq }所分别代表的含义。^[4]:p.6这样⊆{displaystyle subseteq }和⊂{displaystyle subset }就类似于不等符号≤{displaystyle leq }和<{displaystyle <}的关系。例如如果 x≤y{displaystyle xleq y}，那么x{displaystyle x}可能等于y{displaystyle y}也可能不等于，而如果 x<y{displaystyle x<y}，那么x{displaystyle x}就一定不等于y{displaystyle y}。换用⊂{displaystyle subset }表示真子集，如果 A⊆B{displaystyle Asubseteq B}，那么A{displaystyle A}可能等于B{displaystyle B}也可能不等于，而如果 A⊂B{displaystyle Asubset B}，那么A{displaystyle A}就一定不等于B{displaystyle B}。

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：使用⊆{displaystyle subseteq }表示子集关系，⊂{displaystyle subset }表示真子集关系；或者使用⊂{displaystyle subset }表示子集关系，使用⊊{displaystyle subsetneq }表示真子集关系。

举例

• 集合{1,2}{displaystyle left{1,2right}}是集合{1,2,3}{displaystyle left{1,2,3right}}的真子集。


• 
  自然数集合是有理数集合的真子集。


• 集合{x:x{displaystyle {x:x}是大于2000的素数}{displaystyle }}是集合{x:x{displaystyle {x:x}是大于1000的奇数}{displaystyle }}的真子集。


• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。


• 
  空集，写作 ∅{displaystyle varnothing }，是任意集合X{displaystyle X}的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若A,B,C{displaystyle A,B,C}是集合，则：

自反性：

• A⊆A{displaystyle Asubseteq A}

反对称性：

• 
  A⊆B{displaystyle Asubseteq B}且B⊆A{displaystyle Bsubseteq A}当且仅当A=B{displaystyle A=B}
  

传递性：

• 若A⊆B{displaystyle Asubseteq B}且B⊆C{displaystyle Bsubseteq C}则A⊆C{displaystyle Asubseteq C}
  

这个命题说明：对任意集合S{displaystyle S}，S{displaystyle S}的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若A,B,C{displaystyle A,B,C}是集合S{displaystyle S}的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• 
  ∅⊆A⊆S{displaystyle varnothing subseteq Asubseteq S}（ ∅⊆A{displaystyle varnothing subseteq A}由命題1給出）

存在并运算：

• A⊆A∪B{displaystyle Asubseteq Acup B}


• 若A⊆C{displaystyle Asubseteq C}且B⊆C{displaystyle Bsubseteq C}则A∪B⊆C{displaystyle Acup Bsubseteq C}
  

存在交运算：

• A∩B⊆A{displaystyle Acap Bsubseteq A}


• 若C⊆A{displaystyle Csubseteq A}且C⊆A{displaystyle Csubseteq A}则C⊆A∩B{displaystyle Csubseteq Acap B}
  

命题4:对任意两个集合A{displaystyle A}和B{displaystyle B}，下列表述等价：

• A⊆B{displaystyle Asubseteq B}


• A∩B=A{displaystyle Acap B=A}


• A∪B=B{displaystyle Acup B=B}


• A−B=∅{displaystyle A-B=varnothing }


• B⊆A′{displaystyle Bsubseteq A'}

这个命题说明：表述"A⊆B{displaystyle Asubseteq B}"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻

1. 
   ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03） 
   


2. 
   ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07] 
   


3. 
   ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14] 
   


4. 
   ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157 
   

参见

• 
  冪集：某集合的全部子集组成的集合。

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 相关（英语：Axiom of dependent choice） 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理（英语：Martin's axiom） 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 冪集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 對角論證法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可數集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可數集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 数学原理 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel） 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 盧菲特·澤德 保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech） 威拉德·蒯因

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