區間

在數學上，區間是某個範圍的數的搜集，一般以集合形式表示。

目录

• 
  1 簡說
  


• 
  2 嚴格定義
  


• 
  3 區間算術
  


• 
  4 另一種寫法
  

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間(10,20){displaystyle (10,20)}表示所有在10{displaystyle 10}和20{displaystyle 20}之間的實數，但不包括10{displaystyle 10}或20{displaystyle 20}。另一方面，閉區間[10,20]{displaystyle [10,20]}表示所有在10{displaystyle 10}和20{displaystyle 20}之間的實數，以及10{displaystyle 10}和20{displaystyle 20}。

嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集T{displaystyle T}的子集S{displaystyle S}，使得若x{displaystyle x}和y{displaystyle y}均屬於S{displaystyle S}，且x<z<y{displaystyle x<z<y}，則z{displaystyle z}亦屬於S{displaystyle S}。

特別重要的情況是當T=R{displaystyle T=mathbb {R} }。

R{displaystyle mathbb {R} }的區間有以下十一種（a{displaystyle a}和b{displaystyle b}為實數且a<b{displaystyle a<b}）：

1. (a,b)={x∣a<x<b}{displaystyle (a,b)={xmid a<x<b}}


2. [a,b]={x∣a≤x≤b}{displaystyle [a,b]={xmid aleq xleq b}}


3. [a,b)={x∣a≤x<b}{displaystyle [a,b)={xmid aleq x<b}}


4. (a,b]={x∣a<x≤b}{displaystyle (a,b]={xmid a<xleq b}}


5. (a,∞)={x∣x>a}{displaystyle (a,infty )={xmid x>a}}


6. [a,∞)={x∣x≥a}{displaystyle [a,infty )={xmid xgeq a}}


7. (−∞,b)={x∣x<b}{displaystyle (-infty ,b)={xmid x<b}}


8. (−∞,b]={x∣x≤b}{displaystyle (-infty ,b]={xmid xleq b}}


9. 
   (−∞,∞)=R{displaystyle (-infty ,infty )=mathbb {R} }自身，實數集


10. 
    [a,a]={a}{displaystyle [a,a]={a}}，即單元素集合
    


11. 
    ∅{displaystyle varnothing }，即空集
    

1、5、7稱為開區間（因為它們是開集）；2、6、8、10稱為閉區間（因為它們是閉集）；3、4稱為半開區間、半閉區間或半開半閉區間；而9、11同時為開區間和閉區間，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11為有界區間；5、6、7、8、9為無界區間；10為單點。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

T×S={x |{displaystyle Ttimes S={x |}屬於T{displaystyle T}的某些y{displaystyle y}，及屬於S{displaystyle S}的某些z{displaystyle z}，使得x=y×z}{displaystyle x=ytimes z}}

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集[a,b]{displaystyle [a,b]}及[c,d]{displaystyle [c,d]}：

[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]{displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}

[a,b]−[c,d]=[a−d,b−c]{displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}

[a,b]×[c,d]=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)]{displaystyle [a,b]times [c,d]=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)]}

[a,b][c,d]=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)]{displaystyle {frac {[a,b]}{[c,d]}}=left[min left({frac {a}{c}},{frac {a}{d}},{frac {b}{c}},{frac {b}{d}}right),max left({frac {a}{c}},{frac {a}{d}},{frac {b}{c}},{frac {b}{d}}right)right]}

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集X(Y+Z){displaystyle X(Y+Z)}是XY+XZ{displaystyle XY+XZ}的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，和國際標準化組織編制的ISO 31-11，用][{displaystyle ][}代替(){displaystyle ()}來表示开区间，例如：

]a,b[={x∣a<x<b}{displaystyle left]a,bright[={xmid a<x<b}}

[a,b]={x∣a≤x≤b}{displaystyle left[a,bright]={xmid aleq xleq b}}

[a,b[={x∣a≤x<b}{displaystyle left[a,bright[={xmid aleq x<b}}

]a,b]={x∣a<x≤b}{displaystyle left]a,bright]={xmid a<xleq b}}

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將[1,2.3]{displaystyle [1,2.3]}寫成[1;2,3]{displaystyle [1;2,!3]}。若只把小數點寫成逗號，就會變成[1,2,3]{displaystyle [1,2,!3]}，此時不易判斷究竟是1.2{displaystyle 1.2}與3{displaystyle 3}之間，還是1{displaystyle 1}與2.3{displaystyle 2.3}之間的閉區間。

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